ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 26.16 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, которая равна 15 см. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности, описанной около неё, равен \(12,5\) см.

\(AC = 2R = 25\), \(AB = \sqrt{AC^2 — BC^2} = \sqrt{25^2 — 15^2} = \sqrt{625 — 225} = \sqrt{400} = 20\), \(m = \frac{AB + CD}{2} = \frac{20 + 15}{2} = 17.5\), \(S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} = \frac{(20 + 15) \cdot 15}{2} = 192\)

1. Диагональ перпендикулярна боковой стороне
Так как диагональ АС перпендикулярна боковой стороне ВС, треугольник АВС является прямоугольным. Это позволяет использовать теорему Пифагора для нахождения гипотенузы AC.

2. Нахождение гипотенузы АС
В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АС равна диаметру описанной окружности, так как радиус окружности R = 12,5. Следовательно:
\(AC = 2R = 25\)

3. Использование теоремы Пифагора для нахождения основания АВ
Для нахождения второго катета АВ используем теорему Пифагора:
\(AB = \sqrt{AC^2 — BC^2} = \sqrt{25^2 — 15^2} = \sqrt{625 — 225} = \sqrt{400} = 20\)
Таким образом, основание трапеции АВ = 20.

4. Нахождение высоты трапеции
В равнобокой трапеции высота h равна боковой стороне ВС = 15. Это следует из того, что в данной задаче боковые стороны трапеции равны.

5. Нахождение средней линии трапеции
Средняя линия m трапеции находится по формуле:
\(m = \frac{AB + CD}{2} = \frac{20 + 15}{2} = 17.5\)

6. Нахождение площади трапеции
Площадь трапеции можно вычислить по формуле:
\(S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} = \frac{(20 + 15) \cdot 15}{2} = 192\)

Ответ: Площадь трапеции S = 192