ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 26.17 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Диагональ трапеции разбивает её на треугольники, площади которых относятся как 3 : 7. Как относятся площади трапеций, на которые разбивает данную трапецию её средняя линия?

Площади треугольников, на которые делит трапецию диагональ, относятся как \(\frac{3}{7}\). Отношение высот этих треугольников равно \(\sqrt{\frac{3}{7}}\). Площади меньших трапеций, на которые делит трапецию средняя линия, относятся как \(\frac{2}{3}\).

Пусть трапеция ABCD, где AB | CD и диагональ АС делит трапецию на два треугольника. Условие задачи говорит, что площади этих треугольников относятся как 3 : 7.

Площадь каждого из треугольников пропорциональна квадрату высоты, проведенной из вершины к основанию. То есть, если обозначить высоту, опущенную на сторону АВ, как h1, а на сторону CD — как h2, то площади треугольников пропорциональны следующим образом:

\(S_1 = \left(\frac{h_1}{h_2}\right)^2 = \frac{3}{7}\)

Таким образом, отношение высот будет:

\(\frac{h_1}{h_2} = \sqrt{\frac{3}{7}} \approx 0.7746\)

Средняя линия трапеции делит её на две меньшие трапеции, и площадь каждой из этих трапеций пропорциональна разности оснований и высоте. Площадь S трапеции можно вычислить как:

\(S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2}\)

Площадь одной из меньших трапеций будет пропорциональна разности оснований АВ и средней линии, а другой — разности основания CD и средней линии. Площадь этих трапеций, как и площадь исходной трапеции, будет пропорциональна разности оснований и высоте. Поскольку высоты этих трапеций пропорциональны h1 и h2, то отношение их площадей будет равно отношению 2 : 3, что и дает искомое решение задачи:

\(\frac{S_1}{S_2} = \frac{2}{3}\)