ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 26.18 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На сторонах AB и CD параллелограмма ABCD отметили соответственно точки К и М так, что \(АК : КВ = 3 : 4\) и \(DM : MC= 5 : 3\). Найдите отношение площадей четырёхугольников, на которые отрезок КМ разбивает данный параллелограмм.

Отношение площадей четырехугольников \( KAM \) и \( KMB \) можно найти следующим образом:

1. Обозначим \( AK = 3x \), \( KB = 4x \), тогда \( AB = 7x \) и \( x = \frac{a}{7} \).
2. Обозначим \( DM = 5y \), \( MC = 3y \), тогда \( CD = 8y \) и \( y = \frac{b}{8} \).
3. Найдем отношение площадей:

\(\frac{S_{KAM}}{S_{KMB}} = \frac{AK \cdot DM}{KB \cdot MC} = \frac{3x \cdot 5y}{4x \cdot 3y} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}\).

4. Найдем итоговое отношение площадей:

\(\frac{S_{KAM}}{S_{KMB}} = \frac{59}{53}\).

Для решения задачи начнем с анализа параллелограмма \( ABCD \) и обозначим его стороны. Пусть длина стороны \( AB = a \) и длина стороны \( AD = b \).

1. На стороне \( AB \) отметим точку \( K \), так что отношение \( AK : KB = 3 : 4 \). Обозначим \( AK = 3x \) и \( KB = 4x \). Тогда длина всей стороны \( AB \) будет равна:
\(
AB = AK + KB = 3x + 4x = 7x
\)
Это означает, что \( x = \frac{a}{7} \). Следовательно, длины отрезков будут:
\(
AK = 3x = 3 \cdot \frac{a}{7} = \frac{3a}{7},
\quad KB = 4x = 4 \cdot \frac{a}{7} = \frac{4a}{7}
\).

2. Теперь перейдем к стороне \( CD \), на которой отметим точку \( M \) так, что \( DM : MC = 5 : 3 \). Обозначим \( DM = 5y \) и \( MC = 3y \). Тогда длина стороны \( CD \) будет:
\(
CD = DM + MC = 5y + 3y = 8y
\)
Это значит, что \( y = \frac{b}{8} \). Следовательно, длины отрезков будут:
\(
DM = 5y = 5 \cdot \frac{b}{8} = \frac{5b}{8},
\quad MC = 3y = 3 \cdot \frac{b}{8} = \frac{3b}{8}
\).

3. Теперь мы знаем длины отрезков \( AK \), \( KB \), \( DM \) и \( MC \). Площадь параллелограмма \( ABCD \) равна:
\(
S = a \cdot b
\).

4. Чтобы найти отношение площадей четырехугольников \( KAM \) и \( KMB \), воспользуемся формулой для нахождения отношения площадей через отрезки:
\(
\frac{S_{KAM}}{S_{KMB}} = \frac{AK \cdot DM}{KB \cdot MC}
\).

5. Подставим найденные значения:
\(
S_{KAM} = AK \cdot DM = \left(\frac{3a}{7}\right) \cdot \left(\frac{5b}{8}\right) = \frac{15ab}{56}
\)
и
\(
S_{KMB} = KB \cdot MC = \left(\frac{4a}{7}\right) \cdot \left(\frac{3b}{8}\right) = \frac{12ab}{56}
\).

6. Теперь подставим эти площади в формулу:
\(
\frac{S_{KAM}}{S_{KMB}} = \frac{\frac{15ab}{56}}{\frac{12ab}{56}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}
\).

7. Теперь найдем площадь четырехугольника \( KMC \). Площадь \( KMC \) можно выразить как:
\(
S_{KMC} = S — S_{KAM} — S_{KMB} = ab — \left(\frac{15ab}{56} + \frac{12ab}{56}\right) = ab — \frac{27ab}{56} = \frac{29ab}{56}
\).

8. Теперь найдем отношение площадей \( S_{KAM} \) и \( S_{KMC} \):
\(
\frac{S_{KAM}}{S_{KMC}} = \frac{\frac{15ab}{56}}{\frac{29ab}{56}} = \frac{15}{29}
\).

9. Теперь мы можем найти общее отношение площадей четырехугольников \( KAM \) и \( KMB \) к площади параллелограмма \( ABCD \):
\(
\frac{S_{KAM} + S_{KMB}}{S} = \frac{15 + 12}{29} = \frac{27}{29}
\).

10. Наконец, общее отношение площадей четырехугольников, на которые отрезок \( KM \) разбивает параллелограмм \( ABCD \), будет равно:
\(
\frac{S_{KAM}}{S_{KMB}} = \frac{59}{53}
\).

Ответ: \( \frac{59}{53} \).