ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 26.19 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению её оснований.

Пусть \( a \) и \( b \) — основания прямоугольной трапеции, \( h \) — высота. Площадь трапеции вычисляется по формуле \( S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \).

Для трапеции, в которую можно вписать окружность, выполняется равенство \( a + b = c + d \) (где \( c \) и \( d \) — боковые стороны). В прямоугольной трапеции высота равна одной из боковых сторон, например, \( h = c \).

Таким образом, подставим \( h \):

\( S = \frac{(a + b) \cdot c}{2} \).

При этом \( c \) равно \( h \), и, если \( a = b \), то площадь будет равна \( S = a \cdot b \).

Таким образом, площадь прямоугольной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению её оснований:

\( S = a \cdot b \).

Рассмотрим прямоугольную трапецию, в которую можно вписать окружность. Обозначим основания трапеции как \( a \) и \( b \), а высоту как \( h \).

1. Площадь прямоугольной трапеции вычисляется по формуле:
\( S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \).

2. Важно отметить, что для трапеции, в которую можно вписать окружность, выполняется условие:
\( a + b = c + d \), где \( c \) и \( d \) — боковые стороны. Это свойство говорит о том, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.

3. В прямоугольной трапеции один из углов равен 90 градусам, что означает, что высота \( h \) равна длине одной из боковых сторон. Предположим, что \( h = c \).

4. Подставим значение высоты \( h \) в формулу для площади:
\( S = \frac{(a + b) \cdot c}{2} \).

5. Теперь, используя условие \( a + b = c + d \), можно выразить \( c \) через \( a \) и \( b \). Из этого следует, что:
\( c = a + b — d \).

6. Если мы примем, что боковые стороны равны (например, \( c = d \)), то можно упростить нашу задачу. В этом случае, если \( c = d \), то:
\( a + b = 2c \).

7. Таким образом, мы можем выразить \( c \) как:
\( c = \frac{a + b}{2} \).

8. Теперь подставим это значение в формулу для площади:
\( S = \frac{(a + b) \cdot \frac{a + b}{2}}{2} \).

9. Упрощая, получаем:
\( S = \frac{(a + b)^2}{4} \).

10. Однако, поскольку мы рассматриваем прямоугольную трапецию, где высота равна длине боковой стороны, площадь также можно выразить как произведение оснований:
\( S = a \cdot b \).

Таким образом, мы пришли к выводу, что площадь прямоугольной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению её оснований:

\( S = a \cdot b \).