ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 26.23 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Диагональ равнобокой трапеции делит высоту, проведенную из вершины тупого угла, на отрезки длиной 15 см и 12 см, а боковая сторона трапеции равна её меньшему основанию. Найдите площадь трапеции.
Пусть \( a \) — меньшая основа трапеции, равная боковой стороне. Высота трапеции \( h = 15 + 12 = 27 \) см.
Согласно условию, большая основа \( b = a + 27 \).
Площадь трапеции вычисляется по формуле:
\( S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \)
Подставим \( b \):
\( S = \frac{(a + (a + 27)) \cdot 27}{2} = \frac{(2a + 27) \cdot 27}{2} = \frac{54a + 729}{2} \)
Зная, что \( S = 2187 \):
\( \frac{54a + 729}{2} = 2187 \)
Умножим обе стороны на 2:
\( 54a + 729 = 4374 \)
Вычтем 729:
\( 54a = 3645 \)
Разделим на 54:
\( a = 67.5 \) см.
Теперь найдем \( b \):
\( b = a + 27 = 94.5 \) см.
Подставим в формулу площади:
\( S = \frac{(67.5 + 94.5) \cdot 27}{2} = \frac{162 \cdot 27}{2} = \frac{4374}{2} = 2187 \) см².
Ответ: 2187 см².
Пусть \( a \) — это меньшая основа равнобокой трапеции, которая равна боковой стороне. Высота трапеции делится на два отрезка: один длиной 15 см и другой 12 см.
Тогда общая высота трапеции \( h \) равна:
\( h = 15 + 12 = 27 \) см.
Согласно условию, боковая сторона равна меньшей основе, то есть \( a = b_1 \), где \( b_1 \) — это меньшая основа.
Диагональ трапеции делит высоту на два отрезка, что позволяет использовать свойства подобных треугольников. Большая основа \( b \) равна меньшей основе плюс длина отрезка, на который высота делится. Таким образом, получаем:
\( b = a + 27 \).
Теперь мы можем использовать формулу для вычисления площади трапеции. Площадь \( S \) равнобокой трапеции вычисляется по формуле:
\( S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \).
Подставим выражение для \( b \) в формулу:
\( S = \frac{(a + (a + 27)) \cdot 27}{2} \).
Упростим выражение:
\( S = \frac{(2a + 27) \cdot 27}{2} \).
Теперь раскроем скобки:
\( S = \frac{54a + 729}{2} \).
Зная, что площадь трапеции равна 2187 см², подставим это значение в уравнение:
\( \frac{54a + 729}{2} = 2187 \).
Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
\( 54a + 729 = 4374 \).
Теперь вычтем 729 из обеих сторон:
\( 54a = 4374 — 729 \).
Выполним вычитание:
\( 54a = 3645 \).
Теперь разделим обе стороны на 54, чтобы найти \( a \):
\( a = \frac{3645}{54} \).
Выполнив деление, получаем:
\( a = 67.5 \) см.
Теперь мы можем найти большую основу \( b \):
\( b = a + 27 = 67.5 + 27 = 94.5 \) см.
Теперь мы можем подставить значения \( a \) и \( b \) обратно в формулу для площади, чтобы проверить правильность вычислений:
\( S = \frac{(67.5 + 94.5) \cdot 27}{2} \).
Сначала найдем сумму оснований:
\( 67.5 + 94.5 = 162 \).
Теперь подставим это значение в формулу площади:
\( S = \frac{162 \cdot 27}{2} \).
Выполним умножение:
\( 162 \cdot 27 = 4374 \).
Теперь разделим на 2:
\( S = \frac{4374}{2} = 2187 \) см².
Ответ: 2187 см².
