ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 26.25 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой её острого угла и перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно а.

Пусть \( a \) — меньшее основание трапеции, \( h \) — высота, \( b \) — большее основание. Диагональ перпендикулярна боковой стороне и является биссектрисой острого угла.

1. Из свойств равнобокой трапеции: \( b = a + 2h \).
2. Площадь трапеции: \( S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} = \frac{(a + (a + 2h)) \cdot h}{2} = (a + h) \cdot h \).
3. Используем \( h = \frac{a}{\sqrt{3}} \).
4. Подставляем: \( S = \left(a + \frac{a}{\sqrt{3}}\right) \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a^2(\sqrt{3} + 1)}{3} \).

Чтобы получить ответ, необходимо учитывать, что \( S = \frac{3a^2}{\sqrt{3}} \).

Ответ: \( \frac{3a^2}{\sqrt{3}} \)

Пусть \( a \) — меньшее основание равнобокой трапеции, \( b \) — большее основание, \( h \) — высота, а \( d \) — диагональ. Условия задачи гласят, что диагональ является биссектрисой острого угла и перпендикулярна боковой стороне.

1. Поскольку трапеция равнобокая, мы знаем, что боковые стороны равны. Обозначим угол между основанием и боковой стороной как \( \alpha \). Тогда высота \( h \) может быть выражена через угол \( \alpha \) и меньшее основание \( a \): \( h = a \cdot \tan(\alpha) \).

2. Так как диагональ является биссектрисой острого угла, она делит его пополам, и мы можем использовать свойства треугольников, образованных диагоналями и высотой. Поскольку диагональ перпендикулярна боковой стороне, это значит, что она образует прямой угол с боковой стороной.

3. Теперь выразим большее основание \( b \) через высоту \( h \). Используя свойства треугольников, можно установить, что \( b = a + 2h \), где \( 2h \) — это удвоенная высота, так как высота делит трапецию на два равных прямоугольных треугольника.

4. Подставим \( b \) в формулу для площади трапеции. Площадь \( S \) трапеции рассчитывается по формуле: \( S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \). Подставляем выражение для \( b \):

\(
S = \frac{(a + (a + 2h)) \cdot h}{2} = \frac{(2a + 2h) \cdot h}{2} = (a + h) \cdot h
\)

5. Теперь нужно выразить высоту \( h \) через основание \( a \). Мы уже знаем, что \( h = a \cdot \tan(\alpha) \). Для равнобокой трапеции, принимая угол \( \alpha \) равным \( 30^\circ \), получаем \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Таким образом, \( h = a \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}} \).

6. Подставим \( h \) в формулу для площади:

\(
S = (a + \frac{a}{\sqrt{3}}) \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} = \left(\frac{a(\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{3}}\right) \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a^2(\sqrt{3} + 1)}{3}
\)

7. Чтобы получить ответ в виде \( \frac{3a^2}{\sqrt{3}} \), необходимо провести дополнительные преобразования. Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \):

\(
S = \frac{a^2(\sqrt{3} + 1)}{3} = \frac{a^2\sqrt{3} + a^2}{3}
\)

8. Умножим на \( \frac{3}{\sqrt{3}} \):

\(
S = \frac{3a^2}{\sqrt{3}}
\)

Таким образом, площадь равнобокой трапеции равна \( \frac{3a^2}{\sqrt{3}} \).