ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 26.26 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Диагонали трапеции перпендикулярны, одна из них равна 48 см, а средняя линия трапеции — 25 см. Найдите площадь трапеции.
1. \( CF = PD \); \( CF \parallel BD \Rightarrow BCFD \)-трапеция
\(
\Rightarrow \angle OCF = 90^\circ
\)
2. \( egC^2 = cdU \cdot cdF \)
\(
48^2 = cdU \cdot (cdU + OF) = cdU \cdot 50
\)
\(
cdU = \frac{48^2}{50} = 46,08 \, (\text{см})
\)
3. \( DC^2 = CD^2 + OC^2 \)
\(
CU = \sqrt{48^2 — 46,08^2} = 13,44 \, (\text{см})
\)
4. \(S = 25 \cdot 13.44 = 336 (cm^2)\)
Рассмотрим геометрическую конструкцию: отрезки CF и PD равны, то есть CF — PD , и прямые CF и BD параллельны друг другу, что обозначено как CF | BD . Это позволяет утверждать, что четырёхугольник BCFD является трапецией. В трапеции BCF D точка О — центр окружности, вписанной или описанной относительно фигуры (в зависимости от контекста). Угол LOCF образован радиусом окружности и стороной трапеции, причём по свойству касательной и радиуса, перпендикулярного к ней, этот угол равен 90° . Следовательно, треугольник AOCF — прямоугольный.
Далее рассмотрим соотношение, заданное формулой \(egC^2 = cdU — cdF\). Здесь \(egC = 48\), а также известно, что \(cdF = cdU + OF\), где \(OF\) — расстояние между точками О и F . Таким образом:
\(482 =cdU \cdot (cdU + OF) = cdU — 50\)
Отсюда можно выразить \(cdU\):
\(cdU = \frac{482}{50} = 46.08 (cm)\)
Теперь найдём длину отрезка CU , используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ACDU , где DC — гипотенуза, CD и CU — катеты, а ОС — ещё один отрезок, связанный с точкой О. По условию задачи известно, что \(DC^2 — CD^2 + OC^2\), но поскольку нам нужно найти CU , мы используем разность квадратов:
\(CU = \sqrt{DC^2 — OC^2}\)
Подставляем значения: \(DC = 48\), \(OC = 46.08\):
\(CU = \sqrt{482 — 46.082} = \sqrt{2304 — 2123.7696} = 180.2304 = 13.44 (cm)\)
Найдём площадь фигуры, которая выражается как произведение двух величин: \(S = KM \cdot CL\). Здесь \(KM = 25\), а \(CL = CU = 13.44\). Тогда:
\(S = 25 \cdot 13.44 = 336 (cm^2)\)
