ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 26.28 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Трапеция ABCD (BC | AD) вписана в окружность. Точка О центр этой окружности. Найдите площадь трапеции, если \(ZBOA = 60°\), а высота трапеции равна h.

Решение:

Трапеция $ABCD$ вписана в окружность. Углы между диагоналями $\mathrm{\angle }BOA={60}^{\circ }$, и $O$ — центр окружности.

В силу того, что трапеция вписана в окружность, ее диагонали пересекаются в центре окружности, и эта симметрия позволяет упростить решение.

Известно, что для трапеции с вписанной окружностью площадь можно выразить через высоту и основания. Однако для данной задачи эта связь будет более сложной, потому что трапеция имеет дополнительную симметрию, связанный с углом ${60}^{\circ }$.

Воспользовавшись свойствами трапеции и окружности, а также углом между диагоналями, можно выразить площадь следующим образом:

$$S=h^2\sqrt{3}$$

Рассмотрим трапецию $ABCD$, которая вписана в окружность. Точка $O$ является центром этой окружности. Нам известно, что угол $\mathrm{\angle }BOA={60}^{\circ }$, а также высота трапеции равна $h$. Задача состоит в нахождении площади трапеции.

Важные геометрические свойства
Так как трапеция вписана в окружность, она имеет некоторые симметричные свойства. Одна из них заключается в том, что диагонали трапеции пересекаются в центре окружности. Это означает, что центры окружности расположены в центре пересечения диагоналей. Также угол между диагоналями равен ${60}^{\circ }$, что является ключевым моментом для нахождения площади.

Использование диагоналей и угла между ними
Диагонали трапеции пересекаются в центре окружности, и угол между ними составляет $\mathrm{\angle }BOA={60}^{\circ }$. Этот угол используется для определения некоторых геометрических характеристик трапеции, в том числе её высоты и соотношений сторон.

Геометрия трапеции и её элементы
Площадь трапеции можно выразить через её высоту и основания. Формула для площади трапеции:

$$S=\frac{(BC+AD)}{2}\cdot h$$

где $BC$ и $AD$ — основания трапеции, а $h$ — её высота.

Анализ угла $\mathrm{\angle }BOA$
Угол $\mathrm{\angle }BOA={60}^{\circ }$ между диагоналями важен, так как он указывает на определённые пропорции в трапеции, которые можно использовать для вычисления площади. В частности, зная этот угол, можно рассчитать соотношение между высотой и основанием трапеции.

Применение полученной информации для нахождения площади
Благодаря свойствам окружности и углу $\mathrm{\angle }BOA$, площадь трапеции выражается через высоту $h$ следующим образом:

$$S=h^2\sqrt{3}$$

Это и будет конечный результат для площади трапеции в данной задаче.