ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 26.30 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На отрезке, соединяющем середины оснований трапеции, отметили точку и соединили её со всеми вершинами трапеции. Докажите, что образовавшиеся треугольники, прилежащие к боковым сторонам трапеции, равновелики.

Трапеция \( ABCD \) имеет основания \( AB \) и \( CD \), где \( M \) и \( N \) — середины оснований. Обозначим точку \( P \) на отрезке \( MN \).

1. Углы \( \angle AMP \) и \( \angle DNP \) равны, так как они соответственные при параллельных прямых \( AB \) и \( CD \).
2. Стороны \( AM \) и \( DN \) равны, так как \( M \) и \( N \) — середины отрезков.
3. Сторона \( MP \) общая для обоих треугольников.

По критерию равенства треугольников (угол-сторона-угол) получаем, что \( \triangle AMP \cong \triangle DNP \). Следовательно, треугольники равновелики.

Рассмотрим трапецию \( ABCD \) с основаниями \( AB \) и \( CD \), где \( AB \parallel CD \). Обозначим \( M \) и \( N \) как середины отрезков \( AB \) и \( CD \) соответственно. Пусть \( P \) — произвольная точка на отрезке \( MN \).

1. Поскольку \( M \) и \( N \) — середины отрезков, то по определению имеем:
\( AM = MB \) и \( CN = ND \).

2. Углы \( \angle AMP \) и \( \angle DNP \) являются соответственными углами, так как \( AB \parallel CD \) и \( PM \) — секущая. Это значит, что \( \angle AMP = \angle DNP \).

3. Теперь рассмотрим длины отрезков. Поскольку \( M \) и \( N \) — середины отрезков, то:
\( AM = \frac{1}{2} AB \) и \( DN = \frac{1}{2} CD \).

4. Если трапеция равнобедренная, то \( AB = CD \), что приводит к равенству:
\( AM = DN \).

5. Теперь посмотрим на сторону \( MP \), которая является общей для треугольников \( \triangle AMP \) и \( \triangle DNP \):
\( MP = MP \).

6. Мы имеем равенство двух углов \( \angle AMP = \angle DNP \), равенство сторон \( AM = DN \) и общую сторону \( MP \).

7. По критерию равенства треугольников (угол-сторона-угол) можно утверждать, что:
\( \triangle AMP \cong \triangle DNP \).

8. Следовательно, треугольники \( AMP \) и \( DNP \) равновелики.

Таким образом, мы доказали, что треугольники, прилежащие к боковым сторонам трапеции, равновелики.