ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 26.31 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что трапеция является равносоставленной с паралле- лограммом, основание которого равно средней линии трапеции, а высота — высоте трапеции.

Рассмотрим трапецию \( ABCD \) с основаниями \( AB \) и \( CD \), где \( AB \parallel CD \). Обозначим \( h \) — высоту трапеции и \( MN \) — среднюю линию трапеции, которая равна \( MN = \frac{AB + CD}{2} \).

1. Площадь трапеции вычисляется по формуле:
\( S_{trap} = \frac{(AB + CD)}{2} \cdot h \).

2. Теперь рассмотрим параллелограмм \( EFGH \) с основанием \( MN \) и высотой \( h \). Площадь параллелограмма вычисляется по формуле:
\( S_{par} = MN \cdot h \).

3. Подставим значение средней линии в формулу площади параллелограмма:
\( S_{par} = \left( \frac{AB + CD}{2} \right) \cdot h \).

4. Сравним площади:
\( S_{trap} = S_{par} \).

5. Это означает, что площади трапеции и параллелограмма равны, следовательно, трапеция \( ABCD \) равносоставлена с параллелограммом \( EFGH \).

Рассмотрим трапецию \( ABCD \) с основаниями \( AB \) и \( CD \), где \( AB \parallel CD \). Обозначим \( h \) — высоту трапеции, а \( MN \) — среднюю линию трапеции, которая определяется как \( MN = \frac{AB + CD}{2} \).

1. Начнем с того, что площадь трапеции вычисляется по формуле:
\( S_{trap} = \frac{(AB + CD)}{2} \cdot h \). Эта формула основана на том, что площадь трапеции равна половине суммы оснований, умноженной на высоту. Это происходит потому, что трапеция может быть представлена как два треугольника и прямоугольник.

2. Теперь рассмотрим параллелограмм \( EFGH \), у которого основание равно средней линии трапеции \( MN \) и высота равна высоте трапеции \( h \). Площадь параллелограмма вычисляется по формуле:
\( S_{par} = основание \cdot высота \). Подставим значения для нашего случая:
\( S_{par} = MN \cdot h \).

3. Подставим значение средней линии в формулу площади параллелограмма:
\( S_{par} = \left( \frac{AB + CD}{2} \right) \cdot h \). Мы видим, что основание параллелограмма равно средней линии трапеции.

4. Теперь сравним площади трапеции и параллелограмма:
\( S_{trap} = \frac{(AB + CD)}{2} \cdot h \) и \( S_{par} = \left( \frac{AB + CD}{2} \right) \cdot h \).

5. Поскольку \( S_{trap} = S_{par} \), это означает, что площади трапеции и параллелограмма равны.

6. Таким образом, мы можем утверждать, что трапеция \( ABCD \) равносоставлена с параллелограммом \( EFGH \), основание которого равно средней линии трапеции, а высота — высоте трапеции. Это завершает доказательство равносоставленности.