ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 26.32 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что площадь трапеции равна произведению боковой стороны и перпендикуляра, опущенного на прямую, которая содержит эту сторону, из середины другой боковой стороны.

Рассмотрим трапецию \( ABCD \) с основаниями \( AB \) и \( CD \) и боковыми сторонами \( AD \) и \( BC \). Обозначим:

— \( l \) — длина боковой стороны \( AD \).
— \( M \) — середина боковой стороны \( BC \).
— \( h’ \) — перпендикуляр, опущенный из точки \( M \) на прямую, содержащую основание \( AB \).

1. Площадь трапеции можно выразить как сумму площадей двух треугольников \( AMB \) и \( CMD \):
\( S_{trap} = S_{triangle \, AMB} + S_{triangle \, CMD} \).

2. Площадь треугольника \( AMB \) равна:
\( S_{triangle \, AMB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h’ \).

3. Площадь треугольника \( CMD \) равна:
\( S_{triangle \, CMD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h’ \).

4. Общая площадь трапеции:
\( S_{trap} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h’ + \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h’ \).

5. Также площадь трапеции можно выразить через боковую сторону и перпендикуляр:
\( S_{trap} = l \cdot h’ \).

6. Таким образом, мы имеем:
\( l \cdot h’ = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h’ + \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h’ \).

7. Это доказывает, что площадь трапеции равна произведению боковой стороны и перпендикуляра, опущенного из середины другой боковой стороны на прямую, содержащую основание.

Рассмотрим трапецию \( ABCD \) с основаниями \( AB \) и \( CD \), где \( AB \parallel CD \).

Обозначим:

— \( AB = a \) — длина верхнего основания.
— \( CD = b \) — длина нижнего основания.
— \( AD = l \) — длина боковой стороны.
— \( BC = m \) — длина другой боковой стороны.
— \( h \) — высота трапеции, перпендикулярно проведенная от точки \( C \) на прямую \( AB \).
— \( M \) — середина боковой стороны \( BC \).

Для начала, чтобы выразить площадь трапеции, нам нужно рассмотреть два треугольника, образованных боковыми сторонами и основанием. Площадь трапеции можно выразить как сумму площадей этих треугольников.

1. Рассмотрим треугольник \( AMB \). Площадь этого треугольника можно выразить через основание \( AB \) и высоту \( h_1 \), опущенную из точки \( M \) на прямую \( AB \):
\( S_{triangle \, AMB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_1 \).

2. Теперь рассмотрим треугольник \( CMD \). Площадь этого треугольника можно выразить аналогично:
\( S_{triangle \, CMD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h_2 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_2 \).

3. Общая площадь трапеции \( ABCD \) равна сумме площадей этих двух треугольников:
\( S_{trap} = S_{triangle \, AMB} + S_{triangle \, CMD} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_1 + \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_2 \).

4. Так как \( h_1 \) и \( h_2 \) являются высотами, опущенными из точки \( M \) на основание \( AB \), мы можем выразить их как \( h_1 = h \) и \( h_2 = h \), поскольку высота трапеции одинаковая для обоих треугольников:
\( S_{trap} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h + \frac{1}{2} \cdot b \cdot h \).

5. Объединим эти выражения:
\( S_{trap} = \frac{h}{2} (a + b) \).

Теперь мы можем рассмотреть, как площадь трапеции связана с боковой стороной \( AD \) и перпендикуляром, опущенным из точки \( M \) на прямую, содержащую основание \( AB \).

6. Поскольку \( M \) — середина боковой стороны \( BC \), проведем перпендикуляр \( MH \) из точки \( M \) на линию \( AB \). Обозначим длину этого перпендикуляра как \( h’ \).

7. Площадь трапеции также может быть выражена через боковую сторону и перпендикуляр:
\( S_{trap} = l \cdot h’ \).

8. Таким образом, мы имеем два выражения для площади трапеции:
\( S_{trap} = \frac{h}{2} (a + b) \) и \( S_{trap} = l \cdot h’ \).

9. Приравняем эти два выражения для площади:
\( l \cdot h’ = \frac{h}{2} (a + b) \).

10. Таким образом, мы доказали, что площадь трапеции равна произведению боковой стороны \( AD \) и перпендикуляра \( h’ \), опущенного из середины другой боковой стороны \( BC \) на прямую, содержащую основание \( AB \).