ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 26.34 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На рисунке 26.10 изображены два квадрата, стороны которых равны 1 см. Эти квадраты расположены так, что вершина Одного квадрата является точкой пересечения диагоналей другого. Чему равна площадь закрашенного четырёхугольника?

Площадь закрашенного четырёхугольника равна \( \frac{1}{4} \, \text{см}^2 \).

Пусть квадрат ABCD имеет стороны равные 1 см. Вершины квадрата: A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1), D(0, 1). Диагонали квадрата пересекаются в точке O(0.5, 0.5).

Рассмотрим второй квадрат EFGH, который также имеет стороны 1 см. Пусть его одна из вершин, например, E, совпадает с точкой O. Предположим, что квадрат EFGH вращается на 45 градусов относительно точки O.

Вершины квадрата EFGH будут:
— E(0.5, 0.5) (совпадает с O)
— F(0.5 + \(\frac{1}{2}\sqrt{2}\), 0.5 — \(\frac{1}{2}\sqrt{2}\)) = (0.5 + 0.7071, 0.5 — 0.7071) = (1.2071, -0.2071)
— G(0.5 — \(\frac{1}{2}\sqrt{2}\), 0.5 — \(\frac{1}{2}\sqrt{2}\)) = (0.5 — 0.7071, 0.5 — 0.7071) = (-0.2071, -0.2071)
— H(0.5 — \(\frac{1}{2}\sqrt{2}\), 0.5 + \(\frac{1}{2}\sqrt{2}\)) = (0.5 — 0.7071, 0.5 + 0.7071) = (-0.2071, 1.2071)

Теперь определим координаты пересечения сторон квадратов ABCD и EFGH, чтобы найти вершины закрашенного четырёхугольника.

Закрашенный четырёхугольник будет образован точками пересечения сторон квадратов. Поскольку квадраты равны по размеру и расположены перпендикулярно, закрашенный четырёхугольник будет иметь равные стороны и углы.

Площадь закрашенного четырёхугольника можно вычислить через формулу площади квадрата, деля её на 4, так как закрашенная область составляет 1/4 от площади одного квадрата.

Площадь одного квадрата равна 1 см². Таким образом, площадь закрашенного четырёхугольника равна \( \frac{1}{4} \, \text{см}^2 \).