ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 26.36 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Каждая из пяти прямых, пересекающих стороны ВС и AD ква- драта ABCD, делит его на два четырёхугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих прямых проходят через одну точку.

Рассмотрим квадрат ABCD со сторонами длины \( a \).

Пять прямых \( l_i \) пересекают стороны AD и BC, деля квадрат на два четырёхугольника с площадями, относящимися как \( 2:3 \). Это означает, что для каждой прямой выполняется \( S_{1i} = \frac{2}{5} S \) и \( S_{2i} = \frac{3}{5} S \), где \( S \) — площадь квадрата \( a^2 \). Суммируя площади, получаем \( \sum_{i=1}^{5} S_{1i} = 2S \) и \( \sum_{i=1}^{5} S_{2i} = 3S \). Это приводит к \( S = 5S \), что указывает на перекрытие площадей. По принципу Дирихле, поскольку у нас 5 прямых и 2 области, по крайней мере три из них пересекаются в одной точке.

Рассмотрим квадрат ABCD со сторонами длины \( a \).

Обозначим точки пересечения прямых с сторонами квадрата. Пусть прямая \( l_i \) (где \( i = 1, 2, 3, 4, 5 \)) пересекает сторону AD в точке \( P_i \) и сторону BC в точке \( Q_i \).

Пусть площади четырёхугольников, образованных прямой \( l_i \), обозначим как \( S_{1i} \) и \( S_{2i} \). По условию задачи выполняется отношение:

\( \frac{S_{1i}}{S_{2i}} = \frac{2}{3} \).

Это можно записать в виде:

\( S_{1i} = \frac{2}{5} S \) и \( S_{2i} = \frac{3}{5} S \),

где \( S \) — площадь квадрата, равная \( a^2 \).

Таким образом, для каждой прямой \( l_i \):

\( S_{1i} + S_{2i} = S \) приводит к:

\( S_{1i} + S_{2i} = \frac{2}{5} S + \frac{3}{5} S = S \).

Теперь суммируем площади всех четырёхугольников, образованных пятью прямыми:

\( \sum_{i=1}^{5} S_{1i} = 5 \cdot \frac{2}{5} S = 2S \) и

\( \sum_{i=1}^{5} S_{2i} = 5 \cdot \frac{3}{5} S = 3S \).

Сумма площадей должна равняться площади квадрата:

\( S = 2S + 3S = 5S \).

Это указывает на то, что площади перекрываются. Теперь рассмотрим геометрическую интерпретацию. Каждая прямая делит квадрат на две части, и для соблюдения заданного отношения площадей, необходимо, чтобы некоторые из этих линий пересекались.

Применим принцип Дирихле: если у нас есть \( n \) точек, которые должны быть распределены по \( k \) контейнерам (в данном случае прямым), и \( n > k \), то по крайней мере одна из прямых должна пересекаться в одной и той же точке. В нашем случае \( n = 5 \) (прямые) и \( k = 2 \) (две области, которые они создают).

Таким образом, по принципу Дирихле, по крайней мере три из этих пяти прямых должны пересекаться в одной точке.