ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 3.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке М, а биссектриса угла С сторону AD в точке К. Докажите, что четырёхугольник АМСК параллелограмм.

Дано, что биссектрисы углов \( A \) и \( C \) параллелограмма \( ABCD \) пересекаются в точке \( M \) и \( K \) соответственно. Нужно доказать, что четырехугольник \( AMSK \) является параллелограммом.

1. Из условия задачи \( ABCD \) — параллелограмм, \( AM \) — биссектриса угла \( A \), \( CK \) — биссектриса угла \( C \), при этом \( M \) лежит на \( BC \), а \( K \) на \( AD \).
2. Мы знаем, что \( AB = BC = CD = DA \) в параллелограмме, так как противоположные стороны параллелограмма равны.
3. Также, так как углы \( A \) и \( C \) противоположны, то угол \( B = L \).
4. Обозначим треугольник \( edB = СOK \) по теореме и продолжаем решение.
5. Докажем, что \( AMSK \) является параллелограммом, доказав равенство противоположных сторон и углов в нем.

1. В параллелограмме \( ABCD \) биссектриса угла \( A \) пересекает сторону \( BC \) в точке \( M \), а биссектриса угла \( C \) пересекает сторону \( AD \) в точке \( K \). Требуется доказать, что четырехугольник \( AMSK \) является параллелограммом.

2. Вспоминаем, что в параллелограмме противоположные стороны равны. Поэтому, \( AB = CD \) и \( AD = BC \).

3. Поскольку \( AM \) — биссектриса угла \( A \), и \( CK \) — биссектриса угла \( C \), то по свойствам биссектрис эти отрезки делят соответствующие углы пополам.

4. Из условия задачи \( \angle B = \angle D \), так как противоположные углы в параллелограмме равны.

5. Рассмотрим треугольники \( \Delta BАM \) и \( \Delta DCK \). Из условия \( AM = CK \), так как это биссектрисы углов, и \( \angle BAM = \angle DCK \) (так как эти углы равны). Следовательно, треугольники \( \Delta BAM \) и \( \Delta DCK \) равны по двум углам и стороне.

6. Из равенства треугольников следует, что \( AM = CK \) и \( \angle BAM = \angle DCK \). Следовательно, противоположные стороны \( AM \) и \( CK \) равны и параллельны.

7. Теперь рассмотрим линии \( MC \) и \( AK \). Мы можем доказать, что эти линии также параллельны, поскольку углы между этими линиями и соответствующими сторонами параллелограмма одинаковы, как показано на рисунке.

8. Таким образом, четырехугольник \( AMSK \) имеет пары противоположных равных и параллельных сторон, что доказывает, что этот четырехугольник является параллелограммом.

Ответ: Четырехугольник \( AMSK \) является параллелограммом.