ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 3.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На рисунке 3.13 четырёхугольник ABCD параллелограмм, \(ZBCP = ZDAE\). Докажите, что четырёхугольник APCЕ параллелограмм.

1. Из условия задачи известно, что \(BC = AD\) и \(∠BCP = ∠DAE\), следовательно, \(∠BCP = ∠DCE\). Таким образом, треугольники \(ΔBCP\) и \(ΔDCE\) подобны по двум углам.

2. Далее, из свойств подобных треугольников следует, что отношение соответствующих сторон одинаково:
\(\frac{BC}{CP} = \frac{BD}{CP}\)

3. Из этого следует, что отрезки \(CP\) и \(CE\) равны, и \(P\) и \(E\) лежат на одной прямой, параллельной сторонам параллелограмма \(ABCD\).

Таким образом, четырёхугольник \(APCE\) является параллелограммом.

1. Дано, что четырёхугольник \(ABCD\) является параллелограммом, и \(∠BCP = ∠DAE\). Необходимо доказать, что четырёхугольник \(APCE\) — параллелограмм.

2. Из условия задачи имеем:
\(BC = AD\), \(∠BCP = ∠DAE\).

3. Из равенства углов \(∠BСР = ∠DAE\) и равенства сторон \(BC = AD\) можно утверждать, что треугольники \(ΔABCP\) и \(ΔADAE\) подобны по двум углам. Для этого применим признак подобия треугольников по двум углам.

4. Так как треугольники \(ΔABCP\) и \(ΔADAE\) подобны, то отношение соответствующих сторон этих треугольников будет одинаковым:
\(\frac{BC}{CP} = \frac{BD}{CE}\)

5. Поскольку \(BC = AD\), а \(BD\) и \(CE\) — стороны, образующие углы при прямых, получается, что отрезки \(CP\) и \(CE\) равны.

6. Таким образом, мы можем утверждать, что \(P\) и \(E\) — точки, лежащие на одной прямой, которая параллельна прямым \(AB\) и \(CD\), так как соответствующие стороны параллельны.

7. Параллельность сторон и равенство противоположных сторон дают нам заключение, что четырёхугольник \(APCE\) является параллелограммом.

Ответ: \(APCE\) — параллелограмм.