ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 3.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Из вершин В и D параллелограмма ABCD провели перпендикуляры ВМ и DK к диагонали АС. Докажите, что четырёхугольник BKDM параллелограмм

1. \( BM \perp AC \) и \( DK \perp AC \Rightarrow BM \parallel DK \) (параллельность прямых, перпендикулярных одной и той же прямой).
2. \( AD = BC, \angle BMD = \angle DKC \Rightarrow \triangle ABM = \triangle DKC \) (по признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними).
3. Следовательно, \( BM = KD \) (по свойствам равных треугольников).

Из п. 1 и п. 3 следует, что \( BM \parallel DK \) и \( BM = KD \). Таким образом, \( BKDM \) — параллелограмм.

1. Из условия задачи известно, что \( BM \perp AC \) и \( DK \perp AC \). Это значит, что прямые \( BM \) и \( DK \) перпендикулярны одной и той же прямой \( AC \). Поэтому, по теореме о параллельности прямых, можно заключить, что прямые \( BM \parallel DK \), так как обе они перпендикулярны \( AC \).
\( BM \parallel DK \)

2. Теперь рассмотрим треугольники \( \triangle ABM \) и \( \triangle DKC \). У нас есть данные, что:
\( AD = BC \) (так как \( ABCD \) — параллелограмм),
\( \angle BMD = \angle DKC \) (так как оба угла являются перпендикулярными углами к диагонали \( AC \)).

Следовательно, треугольники \( \triangle ABM \) и \( \triangle DKC \) равны по двум сторонам и углу между ними (по признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними):
\( \triangle ABM = \triangle DKC \)

3. Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны этих треугольников равны. Таким образом, \( BM = KD \).
\( BM = KD \)

4. Мы уже установили, что прямые \( BM \parallel DK \) и \( BM = KD \). Эти два условия полностью определяют параллелограмм, так как в параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны.

Итак, четырёхугольник \( BKDM \) является параллелограммом.