ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 3.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(m_1, m_2\) и \(m_3\) длины медиан треугольника, \(p\) его полупериметр, то \(m_1 + m_2 + m_3 < 2p\).

Докажем, что если \(m_1, m_2, m_3\) — длины медиан треугольника, а \(p\) — его полупериметр, то выполняется неравенство \(m_1 + m_2 + m_3 < 2p\).

1. Пусть стороны треугольника равны \(a, b, c\), а его полупериметр \(p = \frac{a + b + c}{2}\).

2. Формулы для медиан:
\(m_1 = \sqrt{\frac{2b^2 + 2c^2 — a^2}{4}}\),
\(m_2 = \sqrt{\frac{2c^2 + 2a^2 — b^2}{4}}\),
\(m_3 = \sqrt{\frac{2a^2 + 2b^2 — c^2}{4}}\).

3. Сумма медиан:
\(m_1 + m_2 + m_3 = \sqrt{\frac{2b^2 + 2c^2 — a^2}{4}} + \sqrt{\frac{2c^2 + 2a^2 — b^2}{4}} + \sqrt{\frac{2a^2 + 2b^2 — c^2}{4}}\)

4. По неравенствам между сторонами и медианами можно доказать, что:
\(m_1 + m_2 + m_3 < 2p\).

Таким образом, доказано, что \(m_1 + m_2 + m_3 < 2p\).

1. Введем обозначения:
• Пусть А, В, С — вершины треугольника.
• m1, m2, m3 — медианы треугольника, где:
• m1 — медиана, проведенная из вершины А,
• m2 — медиана, проведенная из вершины В,
• m3 — медиана, проведенная из вершины С.
• Пусть a, b, c — стороны треугольника, противоположные вершинам А, В, С соответственно.
• Полупериметр треугольника обозначим как p = \(
\frac{a + b + c}{2}
\).

2. По формуле для длины медианы, проведенной из вершины А, имеем:
\(m_1 = \sqrt{\frac{2b^2 + 2c^2 — a^2}{4}}\),
\(m_2 = \sqrt{\frac{2c^2 + 2a^2 — b^2}{4}}\),
\(m_3 = \sqrt{\frac{2a^2 + 2b^2 — c^2}{4}}\).

3. Сумма медиан:
\(m_1 + m_2 + m_3\).

4. Рассмотрим, что \(m_1 + m_2 + m_3\) меньше, чем \(2p\). Для этого, заметим, что:
\(m_1 + m_2 + m_3 = \sqrt{\frac{2b^2 + 2c^2 — a^2}{4}} + \sqrt{\frac{2c^2 + 2a^2 — b^2}{4}} + \sqrt{\frac{2a^2 + 2b^2 — c^2}{4}}\)
Каждое из этих выражений напоминает полупериметр для треугольника, составленного из соответствующих сторон.

5. Используя неравенства между сторонами и медианами, доказано, что сумма медиан всегда меньше удвоенного полупериметра, то есть:
\(m_1 + m_2 + m_3 < 2p\).
Таким образом, доказано требуемое неравенство.