ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 3.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Отрезок АО медиана треугольника ABD, отрезок ВО медиана треугольника АВС (рис. 3.10). Докажите, что четырёхугольник ABCD параллелограмм.

Отрезок АО — медиана треугольника ABD, отрезок ВО — медиана треугольника АВС. Необходимо доказать, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

1. АО — медиана треугольника ABD, следовательно, ВО = ОР.
2. ВО — медиана треугольника АВС, следовательно, СО = ОС.
3. Таким образом, АВ ∥ CD, AD ∥ BC.

Из этих фактов можно сделать вывод, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом.

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, рассмотрим следующие шаги:

1. Пусть \( O \) — точка пересечения медианы \( AO \) треугольника \( ABD \). По определению медианы, \( O \) делит сторону \( AD \) пополам, то есть \( AO = OD \).

2. Рассмотрим медиану \( BO \) треугольника \( ABC \). Она делит сторону \( AB \) пополам, то есть \( AO = OB \).

3. Поскольку \( O \) — середина отрезка \( AD \) и \( BO \) — медиана, то \( O \) также делит \( AB \) пополам, то есть \( AO = OB \).

4. Далее, так как \( BO \) делит сторону \( AC \) пополам, мы имеем \( CO = OA \).

5. Таким образом, отрезки \( AB \) и \( CD \) равны, а также отрезки \( AD \) и \( BC \) равны.

6. По теореме о параллелограмме, если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырёхугольник ABCD является параллелограммом.