ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 3.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Две окружности имеют общий центр О (рис. 3.11). В одной из окружностей проведён диаметр AB, в другой диаметр CD. Докажите, что четырёхугольник ACBD параллелограмм.

Видим, что центры окружностей совпадают, то есть \( O \) — общий центр. Окружности имеют общие точки на диаметрах \( AB \) и \( CD \). Поскольку \( AB \parallel CD \) (диаметры одной окружности), и \( O \) — их общий центр, то отрезки \( OA = OB \) и \( OC = OD \), что доказывает параллельность сторон \( AB \) и \( CD \), а следовательно, четырёхугольник \( ACBD \) является параллелограммом.

Докажем, что четырёхугольник \( ACBD \) — параллелограмм.

1. Из условия задачи известно, что две окружности имеют общий центр \( O \). Один диаметр \( AB \) принадлежит первой окружности, а другой диаметр \( CD \) — второй окружности. Нам нужно доказать, что четырёхугольник \( ACBD \) является параллелограммом.
2. Рассмотрим диаметр \( AB \). Он лежит на одной окружности и проходит через её центр \( O \), то есть \( Oa = r \).
3. Теперь рассмотрим второй диаметр \( CD \), который тоже проходит через центр \( O \) второй окружности. Тогда, используя тот факт, что окружности имеют общий центр, можно записать равенство: \( OA = OB = R \).
4. Поскольку \( AB \parallel CD \), то стороны \( AB \) и \( CD \) являются параллельными. Также, по условию задачи, \( OA — OB = R \), что является важным для доказательства.
5. Теперь рассмотрим четвёрку точек \( A, B, C, D \). Так как \( AB \parallel CD \) и \( OA = OB \), \( OC = OD \), то противоположные стороны четырёхугольника \( ACBD \) равны и параллельны.
6. Таким образом, четырёхугольник \( ACBD \) является параллелограммом, так как его противоположные стороны равны и параллельны.

Ответ: четырёхугольник \( ACBD \) — параллелограмм.