ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 3.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На сторонах параллелограмма ABCD (рис. 3.12) отложены равные отрезки AM, ВК, СЕ и DF. Докажите, что четырёхугольник MKEF параллелограмм.

На изображении представлен чертеж параллелограмма и доказательство того, что четырёхугольник \(MKFE\) является параллелограммом. Вот краткое решение:

1. Из условия известно, что отрезки \(AM = BK = CE = DF\). Рассмотрим треугольники \(\triangle AMF\) и \(\triangle BCE\). Они равны по признаку \(САС\), так как \(AM = BK\), \(MF = CE\), \(\angle AMF = \angle BCE\).

2. Из равенства треугольников следует, что \(MF = KE\).

3. Рассмотрим второй факт: \(BK = DF\), \(\angle BKD = \angle DFE\). Эти углы равны, так как они соответственные.

4. Из этих данных следует, что \(MK = FE\).

5. Таким образом, противоположные стороны четырёхугольника равны, что доказывает, что \(MKFE\) — параллелограмм.

Дано параллелограмм \(ABCD\) (рис. 3.12), на сторонах которого откладываются равные отрезки: \(AM = BK = CE = DF\). Требуется доказать, что четырёхугольник \(MKFE\) является параллелограммом.
1. Рассмотрим отрезки \(AM, BK, CE, DF\), которые откладываются на сторонах параллелограмма \(ABCD\). Пусть эти отрезки равны между собой: \(AM = BK = CE = DF\).
2. Сначала докажем, что треугольники \(\triangle AMF\) и \(\triangle BCE\) равны по признаку равенства треугольников \(СОО\), где:
— \(AM = BK\) — по условию задачи;
— \(\angle AMF = \angle BCE\) — соответственные углы, так как прямые \(AB \parallel CD\);
— \(MF = CE\) — по условию задачи.
Из равенства этих треугольников следует, что \(MF = KE\).
3. Далее рассмотрим второй факт: \(BK = DF\), и углы \(\angle BKD = \angle DFE\) равны, так как они соответственные при параллельных прямых \(AB \parallel CD\). Отсюда \(MK = FE\).
4. Показали, что противоположные стороны четырёхугольника \(MKFE\) равны: \(MK = FE\) и \(MF = KE\).
5. Так как у четырёхугольника \(MKFE\) противоположные стороны равны, это доказывает, что \(MKFE\) является параллелограммом по признаку равенства противоположных сторон.