ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 3.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике АВС на продолжении медианы АМ за точку М отложили отрезок МК, равный отрезку АМ. Докажите, что четырёхугольник АВКС является параллелограммом.

Задано, что на продолжении медианы \(AM\) из треугольника \(ABC\) отложен отрезок \(MK\), равный отрезку \(AM\). Необходимо доказать, что четырёхугольник \(ABKC\) является параллелограммом.

1. В данном треугольнике \(ABC\) медиана \(AM\) делит сторону \(BC\) пополам.
2. Из точки \(M\) отложен отрезок \(MK\), равный \(AM\).
3. Таким образом, отрезки \(AM\) и \(MK\) равны по определению.

Поскольку \(AM = MK\), а \(MK\) параллелен стороне \(BC\), то четырёхугольник \(ABKC\) является параллелограммом по признаку параллелограмма (если две стороны четырёхугольника параллельны и равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом).

Ответ: Четырёхугольник \(ABKC\) является параллелограммом.

В треугольнике \(ABC\) на продолжении медианы \(AM\) из точки \(M\) отложили отрезок \(MK\), равный отрезку \(AM\). Необходимо доказать, что четырёхугольник \(ABKC\) является параллелограммом.

1. Обозначим точку \(M\) как середину стороны \(BC\). По определению медианы, \(AM\) является медианой треугольника \(ABC\), то есть делит сторону \(BC\) пополам: \(BM = MC\).
2. Из точки \(M\) на продолжении медианы отложен отрезок \(MK\), равный отрезку \(AM\), то есть \(AM = MK\).
3. Поскольку \(AM = MK\), то треугольник \(AMK\) является равнобедренным с основанием \(AK\) и боковыми сторонами \(AM\) и \(MK\).
4. Теперь рассмотрим четырёхугольник \(ABKC\). Он состоит из треугольника \(ABC\) и добавленного отрезка \(MK\), который равен \(AM\).
5. Сначала заметим, что отрезки \(AB\) и \(KC\) являются противоположными сторонами четырёхугольника \(ABKC\). Чтобы доказать, что четырёхугольник является параллелограммом, необходимо показать, что противоположные стороны равны и параллельны.
6. Отрезки \(AM\) и \(MK\) параллельны стороне \(BC\) (так как они отложены на продолжении медианы и равны между собой).
7. Следовательно, \(ABKC\) является параллелограммом, так как две противоположные стороны \(AB \parallel KC\) и \(AM \parallel BC\) и они равны.

Ответ: Четырёхугольник \(ABKC\) является параллелограммом.