ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 4.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В формулировке теоремы укажите необходимое условие и достаточное условие:
1) если углы смежные, то их сумма равна \(180°\);
2) если треугольник равносторонний, то он равнобедренный;
3) если прямые \(a\) и \(b\) перпендикулярны прямой \(c\), то \(a \| b\);
4) если два треугольника равны, то равны их соответственные углы;
5) если диаметр перпендикулярен хорде, то он делит её пополам.

Хорошо, вот решение:

1) Сумма смежных углов равна \(180°\). Пусть углы \(A\) и \(B\) смежные, тогда \(A + B = 180°\).

2) В равностороннем треугольнике все стороны равны. Следовательно, если один из углов равен \(60°\), то треугольник также равнобедренный.

3) Если \(a \perp c\) и \(b \perp c\), то \(a \parallel b\) по свойству перпендикулярности.

4) Если треугольники равны, то \(A_1 = A_2\), \(B_1 = B_2\), \(C_1 = C_2\), где \(A\), \(B\), \(C\) — соответственные углы.

5) Если диаметр \(d\) перпендикулярен хорде \(h\), то точка пересечения делит \(h\) на два равных отрезка: \(x = y\), где \(x\) и \(y\) — части хорды.

1) Рассмотрим два угла \(A\) и \(B\), которые являются смежными. По определению смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а другие стороны лежат по разные стороны от этой общей стороны. Сумма смежных углов всегда равна \(180°\). Таким образом, если \(A\) и \(B\) смежные, то \(A + B = 180°\).

2) Рассмотрим треугольник \(ABC\), который равносторонний. Это означает, что все три стороны равны: \(AB = AC = BC\). В равностороннем треугольнике все углы равны и составляют \(60°\). Так как равносторонний треугольник имеет две равные стороны, он также является равнобедренным. Следовательно, если треугольник равносторонний, то он равнобедренный.

3) Пусть прямые \(a\) и \(b\) перпендикулярны прямой \(c\). Это означает, что угол между прямой \(a\) и прямой \(c\) равен \(90°\), так же как и угол между прямой \(b\) и прямой \(c\). По свойству перпендикулярности, если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. Таким образом, если \(a \perp c\) и \(b \perp c\), то \(a \parallel b\).

4) Рассмотрим два треугольника \(ABC\) и \(DEF\), которые равны. Это означает, что соответствующие стороны равны: \(AB = DE\), \(BC = EF\), \(CA = FD\). По свойству равенства треугольников, если треугольники равны, то их соответственные углы также равны: \(A = D\), \(B = E\), \(C = F\). Таким образом, если два треугольника равны, то равны их соответственные углы.

5) Пусть диаметр \(d\) окружности перпендикулярен хорде \(h\) в точке \(M\). По свойству окружности, если диаметр перпендикулярен хорде, то он делит её пополам. Обозначим точки пересечения хорды с диаметром как \(A\) и \(B\). Тогда \(AM = MB\), что означает, что длины отрезков равны. Таким образом, если диаметр перпендикулярен хорде, то он делит её пополам.