ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 4.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сформулируйте теорему, обратную данной. Полученную пару взаимно обратных теорем замените одной теоремой, используя язык «необходимо достаточно».
1) Если точка принадлежит серединному перпендикуляру отрезка, то она равноудалена от концов отрезка.
2) Если треугольник равнобедренный, то два его угла равны.
3) Если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник является равнобедренным.
4) Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, то треугольник является равнобедренным.
5) Если накрест лежащие углы, образовавшиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
6) Если сумма односторонних углов, образовавшихся при пересечении двух прямых секущей, равна \(180°\), то прямые параллельны.
7) Если соответственные углы, образовавшиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
8) Катет, лежащий против угла треугольника, равного \(30°\), равен половине гипотенузы.
9) Если прямая является касательной к окружности, то она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
10) Если расстояние от центра окружности до некоторой прямой равно радиусу окружности, то эта прямая является касательной к данной окружности.
11) Если треугольник равносторонний, то центры его вписанной и описанной окружностей совпадают.
12) Если хорды одной окружности равноудалены от её центра, то они равны.
13) Если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна его стороне, то треугольник является равнобедренным.
14) Если две высоты треугольника равны, то треугольник является равнобедренным.
15) Если в четырёхугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник параллелограмм.

Для каждой из предложенных теорем сформулируем обратные и затем объединим их в одну теорему, используя язык «необходимо достаточно».

1. Серединный перпендикуляр
Теорема: Если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру отрезка.

2. Равнобедренный треугольник
Теорема: Если два угла треугольника равны, то треугольник является равнобедренным.

3. Медиана и высота
Теорема: Если треугольник является равнобедренным, то медиана, проведенная к основанию, совпадает с высотой, проведенной к этому основанию.

4. Высота и биссектрисы
Теорема: Если треугольник является равнобедренным, то высота, проведенная к основанию, совпадает с биссектрисой, проведенной к этому основанию.

5. Накрест лежащие углы
Теорема: Если прямые параллельны, то накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух прямых секущей, равны.

6. Сумма односторонних углов
Теорема: Если прямые параллельны, то сумма односторонних углов, образованных при пересечении двух прямых секущей, равна \(180°\).

7. Соответствующие углы
Теорема: Если прямые параллельны, то соответствующие углы, образованные при пересечении двух прямых секущей, равны.

8. Угол 30°
Теорема: Если катет, лежащий против угла треугольника, равного \(30°\), равен половине гипотенузы, то этот треугольник является прямоугольным.

9. Касательная и радиус
Теорема: Если прямая перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то она является касательной к окружности.

10. Расстояние до прямой
Теорема: Если прямая является касательной к окружности, то расстояние от центра окружности до этой прямой равно радиусу окружности.

11. Центры окружностей
Теорема: Если центры вписанной и описанной окружностей треугольника совпадают, то треугольник является равносторонним.

12. Хорды окружности
Теорема: Если две хорды окружности равны, то они равноудалены от её центра.

13. Биссектрисы и параллельность
Теорема: Если биссектрисы внешнего угла треугольника параллельны его стороне, то треугольник является равнобедренным.

14. Высоты треугольника
Теорема: Если две высоты треугольника равны, то треугольник является равнобедренным.

15. Четырехугольник
Теорема: Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Объединённая теорема

Теорема: Для каждой пары теорем, если выполняется условие одной из них, то выполняется и условие другой, что означает, что для утверждений о геометрических фигурах, таких как треугольники и четырехугольники, достаточно одного условия, чтобы гарантировать выполнение другого, а именно:

— Необходимо и достаточно:
— Точка принадлежит серединному перпендикуляру отрезка, если и только если она равноудалена от концов отрезка.
— Треугольник равнобедренный, если и только если два его угла равны.
— Медиана совпадает с высотой, если и только если треугольник равнобедренный.
— Высота совпадает с биссектрисой, если и только если треугольник равнобедренный.
— Прямые параллельны, если и только если накрест лежащие углы равны.
— Прямые параллельны, если и только если сумма односторонних углов равна \(180°\).
— Прямые параллельны, если и только если соответствующие углы равны.
— Катет против угла \(30°\) равен половине гипотенузы, если и только если треугольник прямоугольный.
— Прямая перпендикулярна радиусу, если и только если она касательная к окружности.
— Расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, если и только если прямая касательная к окружности.
— Центры вписанной и описанной окружностей совпадают, если и только если треугольник равносторонний.
— Хорды равноудалены от центра, если и только если они равны.
— Биссектрисы внешнего угла параллельны стороне, если и только если треугольник равнобедренный.
— Две высоты равны, если и только если треугольник равнобедренный.
— Две противолежащие стороны равны и параллельны, если и только если четырехугольник параллелограмм.

Для каждой из предложенных теорем сформулируем обратные и затем объединим их в одну теорему, используя язык «необходимо достаточно».

1. Серединный перпендикуляр
Обратная теорема: Если точка принадлежит серединному перпендикуляру отрезка, то она равноудалена от концов отрезка.

2. Равнобедренный треугольник
Обратная теорема: Если треугольник равнобедренный, то два его угла равны.

3. Медиана и высота
Обратная теорема: Если медиана, проведенная к основанию, совпадает с высотой, проведенной к этому основанию, то треугольник является равнобедренным.

4. Высота и биссектрисы
Обратная теорема: Если высота, проведенная к основанию, совпадает с биссектрисой, проведенной к этому основанию, то треугольник является равнобедренным.

5. Накрест лежащие углы
Обратная теорема: Если накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

6. Сумма односторонних углов
Обратная теорема: Если сумма односторонних углов, образованных при пересечении двух прямых секущей, равна \(180^\circ\), то прямые параллельны.

7. Соответствующие углы
Обратная теорема: Если соответствующие углы, образованные при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

8. Угол \(30^\circ\)
Обратная теорема: Если катет, лежащий против угла треугольника, равного \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, то этот треугольник является прямоугольным.

9. Касательная и радиус
Обратная теорема: Если прямая является касательной к окружности, то она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

10. Расстояние до прямой
Обратная теорема: Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая является касательной к окружности.

11. Центры окружностей
Обратная теорема: Если треугольник является равносторонним, то центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

12. Хорды окружности
Обратная теорема: Если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.

13. Биссектрисы и параллельность
Обратная теорема: Если треугольник является равнобедренным, то биссектрисы внешнего угла параллельны его стороне.

14. Высоты треугольника
Обратная теорема: Если треугольник является равнобедренным, то две высоты равны.

15. Четырехугольник
Обратная теорема: Если четырехугольник является параллелограммом, то две противолежащие стороны равны и параллельны.

Объединённая теорема
Теорема: Для каждой пары теорем, если выполняется условие одной из них, то выполняется и условие другой, что означает, что для утверждений о геометрических фигурах, таких как треугольники и четырехугольники, достаточно одного условия, чтобы гарантировать выполнение другого, а именно:

Необходимо и достаточно:
Точка принадлежит серединному перпендикуляру отрезка, если и только если она равноудалена от концов отрезка.
Треугольник равнобедренный, если и только если два его угла равны.
Медиана совпадает с высотой, если и только если треугольник равнобедренный.
Высота совпадает с биссектрисой, если и только если треугольник равнобедренный.
Прямые параллельны, если и только если накрест лежащие углы равны.
Прямые параллельны, если и только если сумма односторонних углов равна \(180^\circ\).
Прямые параллельны, если и только если соответствующие углы равны.
Катет против угла \(30^\circ\) равен половине гипотенузы, если и только если треугольник прямоугольный.
Прямая перпендикулярна радиусу, если и только если она касательная к окружности.
Расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, если и только если прямая касательная к окружности.
Центры вписанной и описанной окружностей совпадают, если и только если треугольник равносторонний.
Хорды равноудалены от центра, если и только если они равны.
Биссектрисы внешнего угла параллельны стороне, если и только если треугольник равнобедренный.
Две высоты равны, если и только если треугольник равнобедренный.
Две противолежащие стороны равны и параллельны, если и только если четырехугольник параллелограмм.