ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 5.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Докажите, что точки пересечения этих прямых являются вершинами квадрата.

Через вершины квадрата \(ABCD\) проведены прямые, параллельные его сторонам. Пусть \(A, B, C, D\) — вершины квадрата. Прямые через \(A\) и \(C\) параллельны \(BD\), а через \(B\) и \(D\) параллельны \(AC\).

Прямые, проведенные через \(A\) и \(C\), пересекаются с прямыми, проведенными через \(B\) и \(D\), в точках \(A, B, C, D\). Так как прямые параллельны сторонам квадрата, точки пересечения совпадают с вершинами квадрата.

Таким образом, точки пересечения прямых — это вершины квадрата \(A, B, C, D\).

1. У нас есть квадрат \(ABCD\), и через его вершины проведены прямые, параллельные его сторонам. Задача состоит в том, чтобы доказать, что точками пересечения этих прямых являются вершины квадрата.

Шаг 1. Рассмотрим прямые \(MK \parallel AB\) и \(LP \parallel CD\). Эти прямые, проходящие через вершины квадрата, параллельны его сторонам, так как они проведены через противоположные вершины квадрата. Из этого следует, что \(MK \parallel LP\).

Шаг 2. Поскольку прямые \(MK \parallel AB\) и \(LP \parallel CD\), то их пересечение, точка \(M\), будет являться точкой пересечения этих двух прямых. А так как все эти прямые параллельны сторонам квадрата, то и точка \(M\) будет находиться на одной из сторон квадрата.

Шаг 3. Доказываем, что точка \(M\) и другие точки пересечения лежат на других сторонах квадрата. Как видно, все эти прямые, пересекаясь, будут образовывать фигуру, которая представляет собой квадрат, так как прямые, проведенные через вершины квадрата, параллельны его сторонам, а пересечения этих прямых всегда будут являться точками, лежащими на границах исходного квадрата.

Таким образом, все точки пересечения этих прямых будут совпадать с вершинами исходного квадрата, что и требовалось доказать.