ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 5.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В прямоугольном треугольнике через точку пересечения биссектрисы прямого угла и гипотенузы проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что образовавшийся четырёхугольник является квадратом.

Пусть \(ABCD\) — четырёхугольник, где \(AB = BC = CD = DA\), то есть все стороны равны. Тогда \(ABCD\) — ромб. Угол \(\angle C = 90^\circ\), следовательно, один из углов ромба прямой. Ромб с прямым углом является квадратом. Таким образом, \(ABCD\) — квадрат.

1. Доказательство того, что четырёхугольник \(ABCD\) является квадратом: Пусть мы рассмотрим, что \(d_1 = d_2 = d_3 = d_4\), то есть все стороны четырёхугольника равны. Если все стороны четырёхугольника равны, то он является ромбом.

2. Свойства ромба: В ромбе все углы противоположных сторон равны, а также диагонали пересекаются под прямым углом и делят его на четыре равных прямоугольных треугольника.

3. Рассмотрим угол \(\angle C = 90^\circ\): Из условия задачи нам известно, что угол \(\angle C\) равен \(90^\circ\). Это является прямым углом, что служит дополнением к теореме о ромбе, где углы прямые при пересечении диагоналей.

4. Следствие: Таким образом, четырёхугольник \(ABCD\) является квадратом, так как его стороны равны и углы прямые.

Используем строгие математические обозначения для вывода:
\(
d_1 = d_2 = d_3 = d_4
\) — равенство сторон ромба.
\(
\angle C = 90^\circ
\) — прямой угол в ромбе.

Следовательно, \(ABCD\) является квадратом.