ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 5.29 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точки M, K, N и Р являются соответственно серединами сторон AB, ВС, CD и AD квадрата ABCD. Докажите, что четырёхугольник MKNP квадрат.

Рассмотрим квадрат \(ABCD\), в котором точки \(M\), \(K\), \(N\) и \(P\) являются серединами сторон \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(AD\). Докажем, что четырехугольник \(MKNP\) является квадратом.

1. Точки \(M\), \(K\), \(N\) и \(P\) являются серединами сторон квадрата, поэтому отрезки \(MK\), \(KN\), \(NP\) и \(PM\) равны между собой. Согласно теореме о средней линии, \(MK = MP\).

2. Диагонали квадрата пересекаются под прямыми углами, а значит, углы между сторонами четырехугольника \(MKNP\) равны \(90^\circ\).

3. Так как все стороны четырехугольника \(MKNP\) равны, а углы между ними прямые, четырехугольник \(MKNP\) является квадратом.

Для решения задачи, рассмотрим пошагово доказательство того, что четырехугольник \(MKNP\) является квадратом. У нас есть квадрат \(ABCD\), в котором точки \(M\), \(K\), \(N\) и \(P\) лежат соответственно на серединах сторон \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(AD\). Нужно доказать, что четырехугольник \(MKNP\) является квадратом.

Шаг 1: Доказательство равенства сторон

Для начала, используем тот факт, что точки \(M\), \(K\), \(N\) и \(P\) являются серединами соответствующих сторон квадрата. Это означает, что отрезки \(MM’\) и \(PP’\) (где \(M’\) и \(P’\) — противоположные вершины квадрата) будут равными.

Согласно теореме о средней линии, \(MK = MP\), потому что они соединяют соответствующие стороны квадрата.

Шаг 2: Прямые углы

Далее, заметим, что диагонали квадрата пересекаются под прямыми углами. То же самое происходит и в прямоугольных треугольниках, образованных точками середины сторон. Таким образом, угол между двумя соседними отрезками в четырехугольнике \(MKNP\) будет прямым.

Шаг 3: Докажем, что четырехугольник \(MKNP\) — квадрат

Теперь, зная, что все стороны четырехугольника \(MKNP\) равны и углы между ними прямые, можно утверждать, что этот четырехугольник является квадратом.

Таким образом, доказано, что четырехугольник \(MKNP\) является квадратом.