ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 5.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В квадрате ABCD отметили точку М так, что треугольник АМВ равносторонний. Докажите, что треугольник CMD равнобедренный.

1. Рассмотрим квадрат \(ABCD\). По определению квадрата все его стороны равны, и углы прямые.
2. Треугольник \(AMB\) равнобедренный, значит \(AB = BM\), а углы при основании равны: \(\angle BAM = \angle BMA\).
3. Чтобы доказать, что треугольник \(CMD\) равнобедренный, нужно показать, что \(CM = DM\).
4. Точка \(M\) делит сторону \(AB\) на два равных отрезка: \(AM = MB\).
5. Все стороны квадрата равны, а диагонали равны между собой и пересекаются под прямым углом.
6. Следовательно, если треугольник \(AMB\) равнобедренный, то треугольник \(CMD\) также равнобедренный по свойствам симметрии квадрата и его диагоналей.

1. Рассмотрим квадрат \(ABCD\), у которого все стороны равны: \(AB = BC = CD = DA\), а все углы прямые. Также известно, что его диагонали равны и пересекаются под прямым углом, деля друг друга пополам.
2. Пусть точка \(M\) лежит на стороне \(AB\), и треугольник \(AMB\) является равнобедренным. Это означает, что \(AM = BM\) и углы при основании равны: \(\angle BAM = \angle BMA\).
3. Так как \(AB\) — сторона квадрата, точка \(M\) делит её на два равных отрезка: \(AM = BM = \frac{AB}{2}\).
4. Рассмотрим треугольник \(CMD\), где \(C\) и \(D\) — вершины квадрата, а \(M\) лежит на стороне \(AB\). Необходимо доказать, что \(CM = DM\).
5. Диагонали квадрата равны и пересекаются в точке \(O\), которая делит каждую диагональ пополам. Это значит, что \(AC = BD\) и \(AO = OC = BO = OD = \frac{\sqrt{2} \cdot AB}{2}\), где \(\sqrt{2} \cdot AB\) — длина диагонали квадрата.
6. Треугольники \(AMB\) и \(CMD\) связаны симметрией квадрата относительно его центра \(O\). Так как \(AM = BM\), а \(M\) симметрична относительно центра \(O\), то \(CM = DM\).
7. Таким образом, треугольник \(CMD\) равнобедренный, где \(CM = DM\).