ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 5.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если диагонали параллелограмма равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом.

Параллелограмм ABCD является квадратом, так как \(AB = BC = CD = DA\) и \(\angle DAB = \angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = 90^\circ\).

1. Согласно условию, диагонали AC и BD этого параллелограмма равны и перпендикулярны. Это означает, что \(AC = BD\) и \(\angle AOB = 90^\circ\), где точка O — точка пересечения диагоналей.

2. В параллелограмме диагонали делят друг друга пополам, следовательно, \(AO = OC\) и \(BO = OD\). Поскольку \(AC = BD\), то \(AO = BO = OC = OD\). Это означает, что точки A, B, C и D равноудалены от точки O.

3. Рассмотрим треугольники AOD и BOC. У них общая сторона OD, и \(AO = BO\), \(OD = OC\), а также \(\angle AOB = 90^\circ\). Таким образом, треугольники AOD и BOC равны по гипотенузе и катету.

4. Из равенства треугольников следует, что \(AD = BC\). Аналогично можно показать, что \(AB = CD\).

5. Теперь у нас есть параллелограмм ABCD с равными сторонами \(AB = BC = CD = DA\) и равными диагоналями, которые пересекаются под прямым углом. Это означает, что все углы параллелограмма прямые, то есть \(\angle DAB = \angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = 90^\circ\).

6. Таким образом, параллелограмм ABCD является квадратом, так как у него все стороны равны и все углы прямые.