ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 5.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине.

Докажем, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Пусть \(\triangle ABC\) — прямоугольный треугольник с прямым углом в \(C\), гипотенуза \(AB\), \(CM\) — медиана, \(M\) — середина \(AB\). Треугольники \(\triangle AMC\) и \(\triangle BMC\) равны: \(CM = CM\) (общая сторона), \(\angle AMC = \angle BMC\) (вертикальные углы). Следовательно, \(AM = BM\). Медиана \(CM\) равна половине гипотенузы \(AB\): \(CM = \frac{1}{2} AB\).

Докажем, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине.

1. Пусть \(\triangle ABC\) — прямоугольный треугольник с прямым углом в точке \(C\), гипотенуза которого \(AB\). Пусть \(M\) — точка на гипотенузе \(AB\), такая что \(CM\) — медиана, т.е. \(M\) — середина гипотенузы \(AB\).

2. Рассмотрим два треугольника \(\triangle AMC\) и \(\triangle BMC\). Эти треугольники равны по следующим признакам:
— \(CM = CM\) (общая сторона);
— \(\angle AMC = \angle BMC\) (вертикальные углы, так как прямой угол в \(C\)).

3. Из равенства треугольников по двум сторонам и углу следует, что треугольники \(\triangle AMC\) и \(\triangle BMC\) равны, то есть \(AM = BM\).

4. Таким образом, медиана \(CM\) делит гипотенузу \(AB\) пополам, т.е. \(AM = BM\).

5. В результате, медиана \(CM\) равна половине гипотенузы \(AB\), что и требовалось доказать:
\(
CM = \frac{1}{2} AB
\)