ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 5.35 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что точки пересечения биссектрис углов параллелограмма, не являющегося ромбом, являются вершинами прямоугольника.

1. Пусть \(\angle DAB\) и \(\angle DCB\) — углы параллелограмма. Так как биссектрисы углов пересекаются, \(\angle DAB = \angle DCB\), и угол между биссектрисами равен \(90^\circ\).
2. Точки пересечения биссектрис углов параллелограмма образуют прямой угол, что доказывает, что они являются вершинами прямоугольника.

Для того, чтобы доказать, что точки пересечения биссектрис углов параллелограмма, не являющегося ромбом, являются вершинами прямоугольника, используем следующие шаги:
1. Доказательство того, что биссектрисы углов параллелограмма пересекаются под прямым углом:
Мы знаем, что биссектрисы углов параллелограмма делят углы пополам. Пусть \(\angle DAB\) и \(\angle DCB\) — это два угла параллелограмма. Тогда, поскольку биссектрисы этих углов пересекаются, мы можем написать:
\(\angle DAB = \angle DCB\)
Из условия, что параллелограмм не является ромбом, следует, что углы \(\angle DAB\) и \(\angle DCB\) не равны \(90^\circ\). Так как биссектрисы этих углов пересекаются, то они образуют прямой угол. Это подтверждается тем, что угол между двумя пересекающимися биссектрисами равен \(90^\circ\).
2. Доказательство, что точка пересечения биссектрис является вершиной прямоугольника:
Так как мы доказали, что биссектрисы пересекаются под прямым углом, это означает, что точки пересечения образуют прямой угол между собой, что является необходимым и достаточным условием для того, чтобы образовать прямоугольник. Следовательно, точки пересечения биссектрис углов параллелограмма, не являющегося ромбом, действительно являются вершинами прямоугольника.