ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 5.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 55 см. Прямоугольник ABCD построен так, что две его вершины А и D принадлежат гипотенузе, а две другие катетам данного треугольника. Найдите стороны прямоугольника, если \(AB : BC = 3 : 5\).

1. Пусть АВ = \(3x\) и ВС = \(5x\).
2. Площадь прямоугольника: \(S = АВ \cdot ВС = 3x \cdot 5x = 15x^2\).
3. Площадь прямоугольника также можно выразить через площадь треугольников: \(S = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot ВС \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 5x \cdot \frac{5x}{2} = \frac{25x^2}{4}\).
4. Приравниваем: \(15x^2 = \frac{25x^2}{4} \Rightarrow x = 5\).
5. Следовательно, АВ = \(3x = 3 \cdot 5 = 15 \text{см}\) и ВС = \(5x = 5 \cdot 5 = 25 \text{см}\).
Ответ: АВ = 15 см, ВС = 25 см.

1. Пусть длина стороны АВ = \(3x\), а длина стороны ВС = \(5x\), так как дано, что их отношение равно 3 : 5.
2. Площадь прямоугольника ABCD можно выразить через стороны прямоугольника: \(S = АВ \cdot ВС = 3x \cdot 5x = 15x^2\).
Также, площадь прямоугольника можно выразить как сумму площадей двух прямоугольных треугольников. Площадь одного треугольника, например, РВС, равна: \(P_{\text{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot ВС \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 5x \cdot \frac{5x}{2} = \frac{25x^2}{4}\).
Тогда полная площадь прямоугольника будет равна: \(S = 2 \cdot P_{\text{ABC}} = 2 \cdot \frac{25x^2}{4} = \frac{25x^2}{2}\).
3. Теперь мы имеем два уравнения для площади: \(15x^2 = \frac{25x^2}{2} \Rightarrow x = 5\).
4. Подставляем \(x = 5\) в выражения для сторон: \(АВ = 3x = 3 \cdot 5 = 15 \text{см}, ВС = 5x = 5 \cdot 5 = 25 \text{см}\).
Ответ: длина сторон прямоугольника АВ = 15 см и ВС = 25 см.