ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 5.43 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На сторонах АВ и ВС параллелограмма ABCD во внешнюю сторону построены квадраты APQB и BMNC. Докажите, что отрезки DP и DN равны и перпендикулярны.

1. Квадраты APQB и BMNC построены на сторонах параллелограмма ABCD.
2. Так как стороны квадратов равны, то AB = AP = BQ = BC = BM = CN.
3. Углы между сторонами квадратов APQB и BMNC равны 90°.
4. Треугольники DPN и DPQ — прямоугольные и равные, так как имеют равные стороны и углы.
5. Следовательно, отрезки DP и DN равны и перпендикулярны.

Дано, что на сторонах \(AB\) и \(BC\) параллелограмма \(ABCD\) во внешнюю сторону построены квадраты \(APQB\) и \(BMNC\). Необходимо доказать, что отрезки \(DP\) и \(DN\) равны и перпендикулярны.
1. Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\) и квадраты, построенные на его сторонах.
2. Поскольку квадраты построены на сторонах \(AB\) и \(BC\), все их стороны равны, то есть \(AB = AP = BQ\) и \(BC = BM = CN\).
3. Угол между сторонами квадрата \(APQB\) равен \(90°\), так же, как и угол между сторонами квадрата \(BMNC\).
4. Для доказательства, что отрезки \(DP\) и \(DN\) равны и перпендикулярны, рассмотрим два треугольника \(DPN\) и \(DPQ\).
5. В этих треугольниках \(DP\) — общая сторона, и стороны \(DN\) и \(DQ\) также равны соответственно, так как квадраты имеют равные стороны.
6. Углы между сторонами квадратов \(\angle DPQ = \angle DQN = 90°\).
7. Таким образом, два треугольника \(DPQ\) и \(DQN\) являются прямоугольными и равными по стороне и углам (по признаку равенства прямоугольных треугольников).
8. Следовательно, отрезки \(DP\) и \(DN\) равны и перпендикулярны, как и требовалось доказать.