ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 5.46 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте прямоугольник:
1) по диагонали и разности двух сторон;
2) по периметру и диагонали;
3) по периметру и углу между диагоналями.

1. Если известны диагональ \(BD\) и разность сторон \(a = AB — AD\), то стороны находятся по формулам:
\(AB = \frac{\sqrt{BD^2 + a^2} + a}{2}\),
\(AD = \frac{\sqrt{BD^2 + a^2} — a}{2}\).

2. Если известны периметр \(P\) и диагональ \(BD\), то:
\(AB + AD = \frac{P}{2}\),
\(AB = \frac{\sqrt{BD^2 + (\frac{P}{2})^2} + \frac{P}{2}}{2}\),
\(AD = \frac{\sqrt{BD^2 + (\frac{P}{2})^2} — \frac{P}{2}}{2}\).

3. Если известны периметр \(P\) и угол между диагоналями \(\angle BDC\), то стороны можно выразить через тригонометрические функции угла.

1. По диагонали и разности двух сторон.
Предположим, что нам известна диагональ \( BD \) и разность между длинами сторон \( AB \) и \( AD \). Обозначим разницу как \( a = AB — AD \). Известно, что в прямоугольном треугольнике диагональ \( BD \) является гипотенузой. Таким образом, мы получаем прямоугольный треугольник \( ABD \), где \( BD = c \) — длина гипотенузы, а \( AB \) и \( AD \) — катеты.
Для нахождения сторон прямоугольника, нужно использовать теорему Пифагора:
\( AB^2 + AD^2 = BD^2 \)
Из этой формулы можно выразить одну из сторон, зная другую.

2. По периметру и диагонали.
Для этого случая, если известны периметр \( P \) и диагональ \( BD \), то можно использовать следующие соотношения:
\( P = 2(AB + AD) \)
\( AB^2 + AD^2 = BD^2 \)
Из этих двух уравнений можно найти \( AB \) и \( AD \).

3. По периметру и углу между диагоналями.
В этом случае, если известен периметр \( P \) и угол между диагоналями \( \angle BDC \), то для нахождения сторон также можно использовать теоремы о прямоугольном треугольнике, как в предыдущем случае, и соответствующие углы для нахождения размеров сторон, в зависимости от угла между диагоналями.