ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 5.48 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Через произвольную точку, принадлежащую квадрату, проведены две перпендикулярные прямые, каждая из которых пересекает две противолежащие стороны квадрата. Докажите, что отрезки этих прямых, принадлежащие квадрату, равны.

1. Через точку \( R \) на стороне квадрата \( PQRS \) проведены две прямые, перпендикулярные сторонам квадрата.

2. Прямая \( RS \) перпендикулярна \( PQ \), угол \( \angle RSP = 90^\circ \). Также \( PQ \) перпендикулярна \( RS \), угол между ними \( 90^\circ \).

3. Отрезки \( RS \) и \( PQ \) равны: \( RS = PQ \).

4. Таким образом, \( PQ = RS \).

1. Из условия задачи известно, что через произвольную точку \( R \), расположенную на стороне квадрата \( PQRS \), проведены две прямые, которые перпендикулярны сторонам квадрата. Эти прямые пересекаются на противоположных сторонах квадрата.

2. Мы будем использовать свойства перпендикулярных прямых и теорему о пропорциональности отрезков, полученных пересечением прямых.

3. Прямая \( RS \) перпендикулярна стороне \( PQ \), и, следовательно, угол \( \angle RSP = 90^\circ \). Также, прямая \( PQ \) перпендикулярна прямой \( RS \), так что угол между ними равен \( 90^\circ \).

4. Учитывая, что прямые \( RS \) и \( PQ \) пересекаются, можно доказать, что отрезки \( RS \) и \( PQ \) равны. Если обозначить их длины как \( RS \) и \( PQ \), то выполняется следующее равенство:
\( RS = PQ \).

5. По построению прямые, пересекающиеся в точке \( R \), равны. Таким образом, отрезки \( PQ \) и \( RS \) равны, что и требовалось доказать:
\( PQ = RS \).

Таким образом, доказано, что отрезки этих прямых, пересекающиеся в точке \( R \), равны, как и требовалось по условию задачи.