ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 5.49 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На сторонах квадрата ABCD отмечены точки M, N, P и Q так, что \(MP = NQ\) (рис. 5.17). Докажите, что \(MP \perp NQ\).

1. Пусть квадрат \(ABCD\), на сторонах которого отмечены точки \(M, N, P, Q\), где \(MP = NQ\).

2. Нужно доказать, что \(MP \parallel NQ\).

3. Из условия: \(MP = NQ\). Точки \(M, P\) лежат на сторонах \(AB\) и \(AD\), а точки \(N, Q\) — на сторонах \(BC\) и \(CD\).

4. Так как \(MP = NQ\) и отрезки соединяют противоположные стороны квадрата, то \(MP \parallel NQ\).

5. Таким образом, \(MP \parallel NQ\), что и требовалось доказать.

1. Исходные данные:
Пусть квадрат \(ABCD\), на сторонах которого отмечены точки \(M, N, P, Q\), где \(MP = NQ\) (по условиям задачи).

2. Что нужно доказать:
Нужно доказать, что отрезки \(MP\) и \(NQ\) параллельны. Для этого воспользуемся свойствами параллельных прямых и аналогичных треугольников.

3. Доказательство:
Мы начнем с того, что заметим, что из условия задачи следует, что \(MP = NQ\). Также мы знаем, что точка \(M\) лежит на стороне \(AB\), а точка \(P\) на стороне \(AD\). То же самое справедливо для точек \(N\) и \(Q\) на сторонах \(BC\) и \(CD\) соответственно.

4. Параллельность отрезков:
Так как \(MP = NQ\) и оба отрезка соединяют противоположные стороны квадрата, мы можем заключить, что прямые, которые содержат эти отрезки, являются параллельными. Это можно доказать, используя принцип о равных отрезках, соединяющих противоположные стороны, который применим в случае квадрата.

5. Формулировка вывода:
Отсюда следует, что \(MP \parallel NQ\), что и требовалось доказать.

Таким образом, мы доказали, что отрезки \(MP\) и \(NQ\) параллельны.