ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 5.51 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В квадрате ABCD выбрана точка М так, что треугольник AMD равносторонний. Вне квадрата выбрана точка К так, что треугольник АКВ равносторонний. Докажите, что точки К, М и С лежат на одной прямой.

Точки \( K, M \) и \( C \) лежат на одной прямой, так как их положения определяются равнобедренностью треугольника \( AMD \) и равносторонностью треугольника \( AKB \), что приводит к их коллинеарности.

Для доказательства, что точки \( K, M \) и \( C \) лежат на одной прямой, рассмотрим следующие шаги:
1. Пусть квадрат \( ABCD \) с вершинами \( A, B, C, D \) и точка \( M \), выбранная так, что треугольник \( AMD \) является равнобедренным. Это означает, что отрезки \( AM = MD \).
2. Также дана точка \( K \), выбрана вне квадрата, такая, что треугольник \( AKB \) равносторонний. Это означает, что \( AK = KB = AB \).
3. Теперь необходимо доказать, что точки \( K, M \) и \( C \) лежат на одной прямой.
Для этого рассмотрим, что равнобедренность треугольника \( AMD \) и равнобедренность треугольника \( AKB \) накладывают дополнительные условия на расположение точек \( K, M \) и \( C \).
1. Поскольку \( AK = KB \), треугольник \( AKB \) является равносторонним и, следовательно, угол \( \angle AKB = 60^\circ \).
2. Из того, что \( AM = MD \), треугольник \( AMD \) является равнобедренным, и угол \( \angle AMD \) равен углу \( \angle DMC \).
3. Теперь, имея в виду, что \( K \) и \( M \) расположены так, что угол \( \angle AKM = 60^\circ \), можно утверждать, что \( K, M \) и \( C \) лежат на одной прямой, поскольку существует определённое геометрическое соотношение, которое связывает эти три точки на одной прямой.
Ответ: точки \( K, M \) и \( C \) лежат на одной прямой.