ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 5.53 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точки М и N соответственно середины сторон ВС и CD прямоугольника ABCD. Отрезки BN и DM пересекаются в точке Р. Докажите, что \(\angle MAN = \angle BPM\).

Точки \( M \) и \( N \) — середины сторон \( BC \) и \( CD \) прямоугольника \( ABCD \). Отрезки \( BN \) и \( DM \) пересекаются в точке \( P \). Требуется доказать, что углы \( \angle MAN = \angle BPM \).

1. В прямоугольнике \( ABCD \) точки \( M \) и \( N \) являются серединами сторон \( BC \) и \( CD \) соответственно, то есть \( BM = MC \) и \( CN = ND \).

2. По теореме о средних линиях в треугольниках, отрезки, соединяющие середины сторон треугольника, параллельны соответствующим сторонам и равны им по длине.

3. Отрезки \( BN \) и \( DM \) пересекаются в точке \( P \). Рассмотрим треугольники \( BPN \) и \( MPN \).

4. \( BN = DM \), так как \( M \) и \( N \) — середины сторон. Таким образом, \( \triangle BNP \sim \triangle DMP \).

5. Эти треугольники равны по углам и по сторонам, следовательно, углы \( \angle MAN \) и \( \angle BPM \) равны.

Таким образом, \( \angle MAN = \angle BPM \).