ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 5.54 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Дан параллелограмм ABCD. Биссектрисы углов BAC и BDC пересекаются в точке М так, что \(\angle AMD = 45°\). Докажите, что четырёхугольник ABCD ромб.

1. Углы \( \angle BAC \) и \( \angle BDC \) пересекаются в точке \( M \), и \( \angle AMD = 45^\circ \).

2. Это означает, что \( \triangle ABD \) и \( \triangle DBC \) имеют одинаковые углы в точке \( M \).

3. Из-за свойства биссектрисы угол между двумя сторонами будет равным, что указывает на то, что \( AB = BC = CD = DA \).

4. Это и есть условие для ромба.

1. Пусть параллелограмм \( ABCD \), где биссектрисы углов \( \angle BAC \) и \( \angle BDC \) пересекаются в точке \( M \), и \( \angle AMD = 45^\circ \). По условию задачи, угол \( \angle AMD = 45^\circ \).

2. Рассмотрим треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle DBC \), которые имеют общий угол \( \angle AMD \), и также одинаковые стороны. Это подтверждается тем, что угол \( \angle ABD = \angle DBC \), так как биссектрисы делят углы пополам.

3. Следовательно, \( \triangle ABD \cong \triangle DBC \) по теореме о равенстве треугольников по двум углам и стороне.

4. Так как треугольники равны, то их соответствующие стороны также равны, то есть \( AB = BC = CD = DA \).

5. Это и есть определение ромба: все его стороны равны. Следовательно, параллелограмм \( ABCD \) является ромбом.