ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 5.58 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На стороне АВ и диагонали АС квадрата ABCD отметили соответственно точки P и Q так, что \(AP : PB = 3 : 2\), \(AQ : QC = 4 : 1\). Найдите углы треугольника PQD.

1. Пусть \( F \) — середина отрезка \( AB \), то есть \( BF = AB \).
2. Пусть \( K \) — точка на отрезке \( AD \), такая что \( K \in AF \).
3. Используя теорему о сумме углов в треугольнике и свойства изосцелесовых треугольников, докажем, что сумма углов \( \angle ANB \) и \( \angle ADB \) равна \( 45^\circ \).

1. Пусть \( A, B, C \) и \( D \) — вершины прямоугольного треугольника \( ABCD \), где \( \angle ABC = 90^\circ \).
2. Из условия задачи известно, что \( AD = 3 \cdot AB \). Таким образом, можно записать:
\( AD = 3AB \)
3. На стороне \( AD \) отложена точка \( N \), такая что \( AN = 2ND \). Это означает, что точка \( N \) делит отрезок \( AD \) в отношении \( 2:1 \), то есть:
\( \frac{AN}{ND} = 2 \)
4. Рассмотрим угол \( \angle ANB \). Из треугольника \( ANB \) и используя теорему о равенстве углов, мы можем сделать вывод, что:
\( \angle ANB = 45^\circ \)
5. Теперь рассмотрим угол \( \angle ADB \). Из геометрических свойств треугольников и используя теорему о сумме углов в треугольнике, мы также получаем:
\( \angle ADB = 45^\circ \)
6. Суммируем полученные углы:
\( \angle ANB + \angle ADB = 45^\circ + 45^\circ = 45^\circ \)

Таким образом, доказано, что:
\( \angle ANB + \angle ADB = 45^\circ \)