ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 5.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если диагонали параллелограмма образуют равные углы с одной из его сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Если диагонали параллелограмма образуют равные углы с одной из его сторон, то параллелограмм является прямоугольником. Это следует из свойств диагоналей параллелограмма, а именно:
Диагонали параллелограмма пересекаются в точке О и делят друг друга пополам, то есть АО = ОС и ВО = ОD.
Поскольку диагонали образуют равные углы с одной из сторон, например LAOD = 2BOC, то стороны AD и BC равны.
Таким образом, раз стороны AD и BC равны, а диагонали пересекаются под прямым углом, то параллелограмм ABCD является прямоугольником.

Шаг 1: Введение в условия задачи
Нам дан параллелограмм ABCD, у которого диагонали пересекаются в точке О. Условие задачи: диагонали параллелограмма образуют равные углы с одной из сторон. Это означает, что углы между одной из сторон параллелограмма и диагоналями равны. Например, углы \(LAOD\) и \(ZBOC\) равны.

Шаг 2: Использование свойств диагоналей параллелограмма
В параллелограмме диагонали делят друг друга пополам. Это основное свойство параллелограмма, которое можно записать как:
\(AO = OC\) и \(BO= OD\)

Шаг 3: Работа с углами
Поскольку диагонали параллелограмма образуют равные углы с одной из его сторон, мы можем записать, что:
\(LAOD = 2BOC\)
Эти углы равны по условию задачи.

Шаг 4: Вывод равенства сторон
Из вышеуказанных равенств мы можем заключить, что стороны \(AD\) и \(ВС\) равны. Следовательно, параллелограмм \(ABCD\) является прямоугольным, так как диагонали, пересекающиеся под прямым углом, имеют свойство образовывать прямые углы между противоположными сторонами. Это завершает доказательство.

Заключение
Таким образом, если диагонали параллелограмма образуют равные углы с одной из сторон, то параллелограмм обязательно является прямоугольным.