ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 6.1 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что средние линии треугольника разбивают его на четыре равных треугольника.

1. Средние линии:
Точки \(D\), \(E\) и \(F\) — это середины сторон треугольника. Средние линии \(DE\), \(EF\) и \(DF\) параллельны сторонам треугольника и в два раза короче их. Таким образом, \(DE \parallel AB\), \(EF \parallel BC\), \(DF \parallel AC\), и длины средних линий равны:
\(DE = \frac{1}{2} AB\), \(EF = \frac{1}{2} BC\), \(DF = \frac{1}{2} AC\).

2. Равенство треугольников:
Рассмотрим два треугольника \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADEF\), где \(DE\) — средняя линия, и она параллельна стороне \(AB\). По теореме о средней линии, \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADEF\) будут равными по всем признакам (по двум сторонам и углу между ними).

3. Равенство частей:
Треугольники, которые получаются после разбиения, будут иметь одинаковые площади, так как все они равны по размеру.

Таким образом, средние линии треугольника действительно разбивают его на четыре равных треугольника, как и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника.

1. Средние линии:
Точки \(D\), \(E\) и \(F\) являются серединами сторон треугольника \(ABC\). Это означает, что \(BD = DC\), \(AE = EC\), \(AF = FB\). Средние линии \(DE\), \(EF\) и \(DF\) соединяют середины сторон треугольника и обладают следующими свойствами:
а) Они параллельны соответствующим сторонам треугольника (\(DE \parallel AB\), \(EF \parallel BC\), \(DF \parallel AC\)).
б) Они равны половине длины соответствующих сторон (\(DE = \frac{1}{2} AB\), \(EF = \frac{1}{2} BC\), \(DF = \frac{1}{2} AC\)).
Эти свойства следуют из теоремы о средней линии треугольника, согласно которой средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна половине её длины.

2. Равенство треугольников:
Рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADEF\). Средняя линия \(DE\) соединяет середины сторон \(AB\) и \(BC\), а также параллельна стороне \(AB\) (\(DE \parallel AB\)).
Кроме того, из свойства средней линии треугольника известно, что \(DE = \frac{1}{2} AB\). Треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADEF\) равны по следующим признакам:
а) Сторона \(AB\) треугольника \(\triangle ABC\) пропорциональна стороне \(DE\) треугольника \(\triangle ADEF\) (\(DE = \frac{1}{2} AB\)).
б) Сторона \(BC\) треугольника \(\triangle ABC\) пропорциональна стороне \(EF\) треугольника \(\triangle ADEF\) (\(EF = \frac{1}{2} BC\)).
в) Углы \(\angle BAC\) в треугольнике \(\triangle ABC\) и \(\angle DAE\) в треугольнике \(\triangle ADEF\) равны, так как \(DE \parallel AB\).
Таким образом, треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADEF\) равны по двум сторонам и углу между ними.

3. Равенство частей:
После построения средних линий треугольник \(ABC\) разбивается на четыре треугольника: \(\triangle ADEF\), \(\triangle DBF\), \(\triangle ECF\) и \(\triangle DEF\).
Треугольники \(\triangle DBF\) и \(\triangle ECF\) равны треугольнику \(\triangle ADEF\) по следующим признакам:
а) Стороны \(DF\) и \(EF\) равны половине сторон \(AC\) и \(BC\) соответственно (\(DF = \frac{1}{2} AC\), \(EF = \frac{1}{2} BC\)).
б) Углы \(\angle BFD\) и \(\angle CFE\) равны углам \(\angle DAE\), так как \(DF \parallel AC\) и \(EF \parallel BC\).
в) Треугольник \(\triangle DEF\) равен всем остальным треугольникам, так как его стороны \(DE\), \(EF\) и \(DF\) равны половине сторон \(AB\), \(BC\) и \(AC\) соответственно, а углы равны углам других треугольников.

Таким образом, треугольник \(ABC\) разбивается на четыре равных треугольника с одинаковыми площадями и размерами.

Ответ: доказано, что средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника.