ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 6.13 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Диагонали выпуклого четырёхугольника равны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины его противолежащих сторон, перпендикулярны.

1. Диагонали АС и BD равны, значит, отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, перпендикулярны.
2. Пусть M, N, P, Q — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно.
3. Так как \(AC = BD\), то \(AM = MC\).
4. \(MN = NP = PQ = QM\), поэтому отрезки, соединяющие середины, образуют равнобедренную трапецию.
5. Так как MN и PQ равны и пересекаются, угол между ними прямой, значит отрезки перпендикулярны.

Для решения данной задачи, давайте подробно разберем каждое из предложенных утверждений.

1. Задано, что диагонали выпуклого четырёхугольника равны. Обозначим их АС и BD. Нам нужно доказать, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, перпендикулярны.

2. Пусть M, N, P, и Q — середины сторон AB, ВС, CD, и DA соответственно.

3. По условию задачи, мы знаем, что диагонали АС и BD равны между собой, то есть: \(AC = BD\). Следовательно, отрезки АМ и МС (где М — середина АВ) равны, так как М — середина отрезка А.В.

4. Теперь, проведём рассуждения относительно сторон и диагоналей. Отрезки MN, NP, PQ, и QM соединяют середины противоположных сторон четырёхугольника. Сначала определим, что эти отрезки равны между собой: \(MN = NP = PQ = QM\). В связи с этим, получаем, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, образуют равнобедренный трапецию.

5. Для завершения доказательства, необходимо показать, что эти отрезки перпендикулярны. Учитывая, что MN и PQ — равны и пересекаются, то угол между ними должен быть прямым, что и доказывает перпендикулярность.

Таким образом, мы доказали, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, перпендикулярны.