ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 6.14 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На сторонах АВ и ВС треугольника отметили соответственно точки М и К так, что \(АМ = 3ВМ\), \(СК = 3ВК\). Докажите, что \(МК \perp АС\), и найдите отрезок МК, если \(АС = 16\) см.

Из условия задачи следует, что точки M и K делят стороны AB и BC треугольника ABC в отношении 3:1. Поэтому треугольники AMK и BCK подобны, и отношение длины отрезка MK к длине стороны AC равно \(\frac{1}{4}\). Таким образом, если AC = 16 см, то MK = \(\frac{1}{4} \cdot 16 = 4\) см.

Дано, что на сторонах AB и BC треугольника отмечены точки M и K, такие что AM = 3BM и CK = 3BK. Необходимо доказать, что отрезок MK || AC и найти длину отрезка MK, если AC = 16 см.

1. Из условия задачи AM = 3BM и CK = 3BK. Это означает, что точки M и K делят отрезки AB и BC в отношениях 3:1.

2. Тогда AM = 3BM и CK = 3BK, что влечет пропорциональность отрезков. Следовательно, треугольники ΔAMK и ΔBCK подобны по второму признаку подобия (по пропорциональности соответствующих сторон).

3. Так как треугольники ΔAMK и ΔBCK подобны, то их соответствующие стороны пропорциональны. Это означает, что отношение длин отрезков MK и AC равно \(\frac{1}{4}\), так как коэффициент подобия равен \(\frac{1}{4}\) (по отношению сторон AM и AC).

4. Таким образом, можно выразить длину отрезка MK как:
\(MK = \frac{1}{4} \cdot AC\)

5. Подставляем значение AC = 16 см:
\(MK = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4 \text{ см}\)

6. Умножаем обе части равенства на 16:
\(MK = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4 \text{ см}\)

Ответ: MK = 4 см.