ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 6.18 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон выпуклого четырёхугольника, и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке.

1. Обозначим четырёхугольник ABCD, где M, N, P, Q — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно.
2. Отрезки MN, NP, PQ, QM соединяют середины противоположных сторон четырёхугольника.
3. Треугольники MNP и PQR являются равнобедренными.
4. Отрезки, соединяющие противоположные стороны четырёхугольника, пересекаются в одной точке.

Дано:
· Отрезки EF | ML,
· EF и ML пересекаются в точке О,
• Нужно доказать, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника и отрезки, соединяющие середины диагоналей, пересекаются в одной точке.
1. Рассмотрим четырёхугольник ABCD. Согласно условию, отрезки EF и ML пересекаются в точке O.
2. Обозначим середины сторон AB, BC, CD, DA как M, N, P, Q соответственно.
3. Отрезки MN, NP, PQ, QM соединяют середины противоположных сторон четырёхугольника ABCD.
4. Рассмотрим треугольник MNP. Поскольку M, N, P являются серединами сторон AB, BC, CD соответственно, то треугольник MNP является равнобедренным по теореме о средней линии треугольника.
5. Аналогично, треугольник PQR является равнобедренным, так как Q, R, P являются серединами сторон DA, AB, CD соответственно.
6. Согласно теореме о пересечении медиан в четырёхугольнике, отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, пересекаются в одной точке.
7. Таким образом, отрезки MN, NP, PQ, QM, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника ABCD, пересекаются в одной точке.