ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 6.22 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон выпуклого четырёхугольника ABCD, делят его на четыре четырёхугольника с равными периметрами. Докажите, что четырёхугольник ABCD параллелограмм.

1. Так как периметры четырёхугольников, полученных в результате соединения середин противоположных сторон, равны (\(P_1 = P_2 = P_3 = P_4\)), то эти четырёхугольники являются параллелограммами.

2. Из свойств периметра следует, что \(P_1 = P_2 = P_3 = P_4 = AB + BC + CD + DA = 4 \times \) (периметр каждого параллелограмма).

3. Следовательно, исходный четырёхугольник \(ABCD\) также является параллелограммом, так как его противоположные стороны параллельны и равны по длине.

1. Рассмотрим четырёхугольники P1, P2, P3 и P4, полученные в результате соединения середин противоположных сторон четырёхугольника ABCD. Из условия задачи известно, что периметры этих четырёхугольников равны: \(P_1 = P_2 = P_3 = P_4\).

2. Точки M, N, K и L являются серединами сторон AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD соответственно.

3. Из свойств периметра следует, что периметр каждого из четырёхугольников P1, P2, P3 и P4 равен сумме длин сторон четырёхугольника ABCD: \(P_1 = P_2 = P_3 = P_4 = AB + BC + CD + DA = 4x\), где x — длина каждой стороны четырёхугольника ABCD.

4. Так как соединение середин противоположных сторон четырёхугольника ABCD образует параллелограммы P1, P2, P3 и P4, то сами стороны четырёхугольника ABCD также образуют параллелограмм.

5. Следовательно, четырёхугольник ABCD является параллелограммом, так как его противоположные стороны параллельны и равны по длине.

6. Из свойств параллелограмма следует, что диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке, делящей каждую из них пополам.

7. Таким образом, точки M, N, K и L являются серединами сторон четырёхугольника ABCD, а сам четырёхугольник ABCD является параллелограммом.

8. Поскольку четырёхугольники P1, P2, P3 и P4 являются параллелограммами, их противоположные стороны равны и параллельны.

9. Следовательно, четырёхугольник ABCD, образованный серединами сторон четырёхугольников P1, P2, P3 и P4, также является параллелограммом.