ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 6.23 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Даны треугольник АВС и точки D и Е такие, что \(\angle ADB = \angle ЕВС = 90°\) (рис. 6.5). Докажите, что длина отрезка DE не больше полупериметра треугольника АВС.

1. Даны треугольник АВС и точки D и E, такие что \(\angle ADB = \angle BEC = 90^\circ\).
2. Нужно доказать, что длина отрезка DE не больше полупериметра треугольника АВС.
Решение:
Средняя линия треугольника АВС — отрезок MN, где M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Из теоремы о средней линии, \(MN = \frac{1}{2}AC\).
Применяя неравенство треугольника, получаем: \(AB + BC > AC\), \(BC + AC > AB\), \(AC + AB > BC\).
Полупериметр треугольника АВС вычисляется по формуле \(P = \frac{AB + BC + AC}{2}\). Тогда \(DE \leq P\).

1. Даны треугольник АВС и точки D и E, такие что ∠ADB = ∠BEC = 90°.

2. Нужно доказать, что длина отрезка DE не больше полупериметра треугольника АВС.

Решение:

Шаг 1: Средняя линия
В геометрии известно, что отрезок, соединяющий середины сторон треугольника, называется средней линией. Из теоремы о средней линии мы знаем, что эта линия параллельна третьей стороне треугольника и в два раза короче её.
Обозначим точку М серединой стороны АВ, а точку N — серединой стороны ВС. Тогда отрезок MN является средней линией треугольника АВС.
Из теоремы о средней линии, длина отрезка MN будет равна \(\frac{1}{2}\) длины стороны АС. То есть:
\(MN = \frac{1}{2}AC\).

Шаг 2: Применение неравенства треугольника
Сформулируем и применим неравенство треугольника для треугольника АВС. Мы знаем, что сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. Для треугольника АВС:
\(AB + BC > AC\), \(BC + AC > AB\), \(AC + AB > BC\).

Шаг 3: Площадь и полупериметр
Полупериметр Р треугольника АВС вычисляется по формуле:
\(P = \frac{AB + BC + AC}{2}\)
Далее, рассматривая треугольник АВС и его свойства, можно получить, что длина отрезка DE в этом контексте будет меньше либо равна полупериметру треугольника АВС:
\(DE \leq \frac{AB + BC + AC}{2} = P\)
Таким образом, мы доказали, что длина отрезка DE не больше полупериметра треугольника АВС.