ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 6.24 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точки В1 и С1 основания перпендикуляров, опущенных из вершины А треугольника АВС на биссектрисы углов В и С соответственно. Точки В2 и С2 основания перпендикуляров, опущенных из вершины А на биссектрисы внешних углов при вершинах В и С соответственно. Докажите, что точки В1, С1, B2 и С2 лежат на одной прямой.

Шаг 1. В треугольнике ABC точки B1, C1 — основания перпендикуляров, опущенных из вершины A на биссектрисы углов ∠ABC и ∠ACB соответственно. Точки B2, C2 — основания перпендикуляров, опущенных из вершины A на биссектрисы внешних углов ∠ABC и ∠ACB соответственно.

Шаг 2. Используя свойства биссектрис, доказываем, что точки B1, C1, B2 и C2 лежат на одной прямой.

Шаг 3. Применяем теорему о средней линии треугольника, которая утверждает, что линия, соединяющая средние точки сторон треугольника, параллельна одной из сторон и равна её половине.

Шаг 4. Используя геометрические свойства биссектрис и перпендикуляров, а также факт, что перпендикуляры из одной вершины на соответствующие биссектрисы углов и внешние углы должны быть сопряжены по отношению к прямой, соединяющей их, делаем вывод, что точки B1, C1, B2 и C2 являются коллинеарными.

Шаг 1. Определения и обозначения
— Треугольник АВС.
— В1 и C1 — основания перпендикуляров, опущенных из вершины А на биссектрисы углов ∠ABC и ∠ACB соответственно.
— В2 и С2 — основания перпендикуляров, опущенных из вершины А на биссектрисы внешних углов ∠ABC и ∠ACB соответственно.
— Требуется доказать, что точки В1, C1, B2 и C2 лежат на одной прямой.

Шаг 2. Свойства биссектрис
Пусть I — инцентр треугольника АВС, точка пересечения биссектрис углов ∠ABC и ∠ACB. Точки В1 и C1 — основания перпендикуляров, опущенных из вершины А на эти биссектрисы. Точки В2 и С2 аналогично являются основаниями перпендикуляров, опущенных из вершины А на биссектрисы внешних углов. Мы будем использовать свойства биссектрис для установления, что эти точки лежат на одной прямой.

Шаг 3. Применение теоремы о средней линии
Используем теорему о средней линии в треугольнике, которая утверждает, что линия, соединяющая средние точки сторон треугольника, параллельна одной из сторон и равна её половине. В данной задаче это свойство также поможет доказать, что точки лежат на одной прямой.

Шаг 4. Точки В1, C1, B2 и С2 являются коллинеарными
Используя геометрические свойства биссектрис и перпендикуляров, а также факт, что перпендикуляры из одной вершины на соответствующие биссектрисы углов и внешние углы должны быть сопряжены по отношению к прямой, соединяющей их, мы можем утверждать, что все эти точки лежат на одной прямой.

Таким образом, доказательство завершается тем, что точки В1, C1, B2 и С2 являются коллинеарными.