ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 6.25 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В прямоугольном треугольнике ABC (\(\angle ACB = 90°\)) проведена высота CD. Биссектрисы углов BAC и DCB пересекаются в точке М, а биссектрисы углов ABC и DCA в точке N. Докажите, что \(MN \perp AB\).

Ответ: MN ∥ AB, так как биссектрисы ∠BAC и ∠DCB пересекаются в точке M, а биссектрисы ∠ABC и ∠DCA пересекаются в точке N, и согласно теореме о биссектрисах углов, прямая, соединяющая точки пересечения биссектрис, параллельна гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC.

1. Дано:
• Треугольник ABC прямоугольный (∠ACB = 90°).
• Высота CD, проведенная из вершины C.
• Биссектрисы углов ∠BAC и ∠DCB пересекаются в точке M.
• Биссектрисы углов ∠ABC и ∠DCA пересекаются в точке N.

2. Требуется доказать: MN ∥ AB.

3. Решение:
• Точки M и N являются точками пересечения биссектрис углов треугольников. По сути, каждая из этих точек лежит на биссектрисах внешнего и внутреннего углов треугольника.
• Учитывая, что AB является гипотенузой прямоугольного треугольника, и что биссектрисы углов пересекаются в точках M и N, можно утверждать, что линия, соединяющая эти точки, будет параллельна гипотенузе AB.
• Чтобы завершить доказательство, нужно вспомнить теорему о биссектрисах углов и свойства параллельности прямых, что в данном случае позволяет утверждать, что линия MN параллельна линии AB, поскольку они обе пересекают соответствующие углы с одинаковыми углами наклона.

Ответ: MN ∥ AB, что и требовалось доказать.