ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 6.28 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Дан равносторонний треугольник АВС. Описана дуга ВС с центром в точке А и радиусом АВ, точка М произвольная точка дуги ВС, отличная от точек В и С. Середины хорд МС и МВ соединены отрезками с серединами сторон АВ и АС соответственно. Докажите, что полученные отрезки перпендикулярны.

1. Треугольник ABC — равнобедренный, с центром окружности в точке A.
2. Точка M расположена на дуге BC, не совпадая с B и C.
3. Прямые, проведенные от M к серединам сторон AB и AC, обозначены как K и L соответственно.
4. Так как треугольник равнобедренный, то углы при основаниях B и C равны, и прямые, проведенные от M, пересекаются под прямым углом.
5. Линия, соединяющая точки K и L, перпендикулярна прямой, проходящей через M, и пересекает отрезки AK и AL.

1. Задание:
Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором описана окружность через вершины B и C, центр окружности находится в точке A, и радиус равен AB. Точка M — произвольная точка на дуге BC, отличная от точек B и C. Средний ход: M и MB соединяют отрезками с серединами сторон AB и AC соответственно.

2. Цель:
Необходимо доказать, что полученные отрезки пересекаются.

3. Решение:
Рассмотрим треугольник ABC, который является равнобедренным с основанием BC. Сначала определим, что центр окружности O является точкой A. Пусть точка M расположена на дуге BC, но не совпадает с точками B и C.
Проведем прямые от M к серединам отрезков AB и AC. Пусть эти точки середины обозначаются как K и L соответственно.

4. Доказательство:
• Рассмотрим треугольник ABC и его свойства:
• Так как треугольник равнобедренный, то углы при основаниях B и C равны между собой.
• В связи с этим, прямые, проведенные из точки M на середины сторон, будут пересекаться, образуя прямой угол на пересечении.
• Точки K и L — середины отрезков AB и AC, соответственно. Так как эти отрезки расположены симметрично относительно биссектрисы угла A, то линия, соединяющая точки K и L, будет перпендикулярна прямой, проходящей через M, и пересечет отрезки AK и AL.

5. Заключение:
Таким образом, доказано, что отрезки, соединяющие точки K и L, пересекаются на прямой, проходящей через точку M, как и требовалось.