ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 6.3 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что средняя линия DE треугольника АВС (точки D и Е принадлежат сторонам АВ и ВС соответственно) и его медиана ВМ точкой пересечения делятся пополам.

1. Дано, что средняя линия \( DE \) треугольника \( ABC \) соединяет точки \( D \) и \( E \), которые являются серединами сторон \( AB \) и \( BC \) соответственно.
2. Теорема о средней линии утверждает, что средняя линия параллельна основанию треугольника и равна половине его длины: \( DE \parallel AC \) и \( DE = \frac{1}{2}AC \).
3. Это делит треугольник \( ABC \) на два равных по площади треугольника.

1. Рассмотрим треугольник \( ABC \), в котором точки \( D \) и \( E \) — середины сторон \( AB \) и \( BC \) соответственно. Это означает, что \( AD = DB \) и \( BE = EC \).
2. Согласно теореме о средней линии, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является средней линией. Средняя линия обладает следующими свойствами:
— Она параллельна третьей стороне треугольника: \( DE \parallel AC \).
— Её длина равна половине длины третьей стороны: \( DE = \frac{1}{2}AC \).
3. Используя свойства параллельности, можно записать, что треугольники \( \triangle ADE \) и \( \triangle CDE \) имеют равные основания \( DE \) и равные высоты, так как высоты этих треугольников проведены из одной точки \( D \) на прямую \( AC \).
4. Следовательно, треугольник \( ABC \) делится средней линией \( DE \) на два треугольника \( \triangle ADE \) и \( \triangle CDE \), которые равны по площади.
5. Для проверки, что \( DE \) действительно является средней линией, можно использовать медиану \( BM \) треугольника, где \( M \) — середина \( AC \). Точка пересечения медианы с \( DE \) делит её пополам, что подтверждает свойства средней линии.

Таким образом, средняя линия \( DE \) обладает всеми необходимыми свойствами, и задача решена.